Necesito demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}$ es continua en el disco unitario cerrado y holomorfa en el disco unitario abierto pero no holomorfa en el disco cerrado.
Demostré que la serie es convergente absoluta y uniformemente en subconjuntos compactos del disco unitario cerrado (por la prueba M), entonces la serie es holomorfa (y por lo tanto continua ) pero todavía no estoy seguro de cómo demostrar que es continua en la frontera no holomorfa en la frontera.
Esta es la función di-logaritmo. Tiene radio de convergencia $1$ por Cauchy-Hadamard. Converge absolutamente en la frontera, por comparación con $\sum_{n\ge0}1/n^2$ .
Su derivado es $g (z)/z $ , donde $g (z)=-\ln (1-z) $ . $g (z)=\sum_{n\ge0}z^n/n $ no converge en $z=1$ . Por tanto, no es holomorfa en el disco cerrado.
La serie converge uniformemente en el disco unitario cerrado, por la $M$ -prueba, por lo que es continua allí. Para ser holomorfa en un punto, una función debe ser diferenciable en una vecindad del punto. Si es holomorfa en el disco cerrado, entonces para cada $z$ con $|z|=1$ hay un disco abierto centrado en $z$ en la que la función es holomorfa. Como la frontera es compacta, un número finito de tales discos cubre la frontera, por lo que la serie es holomorfa es algún disco $|z|<r$ donde $r>1$ . Esto es absurdo, ya que el radio de convergencia es $1$ .
En realidad, sabemos por Teorema de Pringsheim que la función no puede ser holomorfa en una vecindad de $1$ .
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