Matriz aumentada de álgebra lineal

Question

$$ \begin{bmatrix} 2 & h & 4 \\ 3 & 6 & 7 \\ \end{bmatrix} $$ Encuentre $h$ tal que esta matriz es inconsistente

lo que he hecho:

conmutado $R_1$ y $R_2$

$$ \begin{bmatrix} 3 & 6 & 7 \\ 2 & h & 4 \\ \end{bmatrix} $$

$R_2$ sustituido por $(-3)R_2 + 2(R_1)$

$$ \begin{bmatrix} 3 & 6 & 7 \\ 0 & 12-3h & 2 \\ \end{bmatrix} $$

$R_2/(12-3h)$ $$ \begin{bmatrix} 3 & 6 & 7 \\ 0 & 1 & 2/(12-3h) \\ \end{bmatrix} $$

$R_1$ sustituido por $(-6)R_2 + R_1$

$$ \begin{bmatrix} 3 & 0 & (4/h+4)+7 \\ 0 & 1 & 2/(12-3h) \\ \end{bmatrix} $$

$R_1/3$

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & (4/(3(h+4))+7/3 \\ 0 & 1 & 2/(12-3h) \\ \end{bmatrix} $$

Me parece que lo estoy haciendo bien pero he seguido otro ejemplo en la web y me he perdido cerca del final, ¿alguien puede decirme en qué me he equivocado?

Answer 1

Seguro que sabes que nunca debes dividir por cero. Pero, aún más importante que esto nunca dividir por algo que puede sea cero.

Dividiendo por $12-3h$ es errónea porque no se sabe si es o no cero, después de todo, $h$ es una incógnita, ese es el objetivo de la pregunta.

Además, no es necesario reducir una matriz hasta la forma totalmente reducida (a menos que tu instructor insista en que siempre lo hagas, lo cual, en mi opinión, sería muy insensato).

La mejor solución es parar después de la segunda matriz. Esto será inconsistente si el lado izquierdo es cero y el lado derecho no lo es, lo que ocurre si y sólo si $h=4$ .

De hecho, no es necesario ni siquiera dar el primer paso: podría simplemente hacer $2(R_2)-3(R_1)$ en la matriz original y llegarías a la misma conclusión.

Answer 2

Otra forma de hacerlo es observar que su sistema es $A\vec x=\vec b$ donde \begin{align*} A&= \left[\begin{array}{rr} 2 & h \\ 3 & 6 \end{array} \ right] & \vec b &= \begin{bmatrix} 4\\ 7 \end{bmatrix} \end{align*} Desde $\det A=-3 \, h + 12$ sabemos que $A\vec x=\vec b$ tiene solución si $h\neq 4$ .

Así, queda por determinar si el sistema dado por $$ \left[\begin{array}{rr|r} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 6 & 7 \end{array}\right] $$ La reducción de filas da $$ \DeclareMathOperator{rref}{rref}\rref \left[\begin{array}{rr|r} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 6 & 7 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $$ Así vemos que el sistema es inconsistente cuando $h=4$ .