¿Variación cuadrática del proceso creciente?

Question

Estoy revisando mis notas y me he encontrado con la siguiente afirmación:

Dejemos que $X_s$ sea una martingala local positiva y que $M_t = max_{0 \le s \le t} X_s$ . Entonces, como $M_t$ es un proceso creciente, $[X,M] = [M] = 0$ . ¿Por qué es así?

En una nota similar, se afirma que en términos de integrales estocásticas, $dM_s$ es $0$ a menos que $X_s = M_s$ . Tampoco estoy seguro de por qué se sostiene esto.

Answer 1

Dejemos que $(\pi_n)_{n\geq 0}$ sea una secuencia de particiones de $[0,T]$ cuya malla va a cero (es decir, si la partición es $\pi_i:0=t_0\leq t_1 \leq ... t_{N(i)} = T$ entonces $mesh(\pi_i)=min_p(t_{p+1}-t_p)$ ).

Entonces a/la definición de covariación cuadrática de los procesos X, Y sobre $[0,T]$ es: $$ [X,Y]_T = lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{N(n)-1}|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}||Y_{t_{i+1}}-Y_{t_i}| $$ (véase Revuz & Yor, Martingalas continuas y cálculo estocástico En el capítulo IV sobre la integración estocástica, teorema 1.9, se explica la equivalencia de esta definición con la otra definición principal; que la covariación cuadrática es el único proceso estocástico creciente tal que $(X_tY_t-[X,Y]_t)_{t\geq 0}$ es una martingala) y $[X]:=[X,X]$ .

Entonces si M es algún proceso general creciente, y X algún proceso general continuo, entonces demostramos que $[X,M]_T=0$ para todo T: $$ [X,M]_T = lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{N(n)-1}|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}||M_{t_{i+1}}-M_{t_i}| \\ \leq lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{N(n)-1}(max_j|X_{t_{j+1}}-X_{t_j}|)|M_{t_{i+1}}-M_{t_i}| \\ = lim_{n \to \infty} (max_j|X_{t_{j+1}}-X_{t_j}|)\sum_{i=0}^{N(n)-1}|M_{t_{i+1}}-M_{t_i}|\\ = lim_{n \to \infty} (max_j|X_{t_{j+1}}-X_{t_j}|)\sum_{i=0}^{N(n)-1}(M_{t_{i+1}}-M_{t_i}) $$ ya que M es creciente, y luego como la suma es telescópica: $$ = lim_{n \to \infty} (max_j|X_{t_{j+1}}-X_{t_j}|)(M_T-M_0)=0 $$ ya que X es continua, y la malla de la partición tiende a cero, por lo que $max_j|X_{t_{j+1}}-X_{t_j}|\to 0$

Como nuestra demostración aquí es para procesos generales X, M, con M creciente y X creciente, tenemos entonces $[X,M]=[M](=[M,M])=0$ .

En general, esto no será cierto si X no es un proceso continuo. Si X tiene una discontinuidad de salto que hace que M tenga una discontinuidad de salto, digamos en $t\in (t_i, t_{i+1})$ entonces $|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}||M_{t_{i+1}}-M_{t_i}|$ nunca puede llegar a cero; siempre será igual al menos al producto de los dos saltos. Para una discusión parcial sobre esto, véase https://almostsuremath.com/2010/01/19/properties-of-quadratic-variations/ .

En cuanto a tu segunda pregunta, imagina que dibujas trayectorias de muestra para X y M en el mismo gráfico. Entonces, en cada punto, M es constante o creciente. Pero por la definición de M, ésta sólo puede aumentar cuando X alcanza un nuevo máximo superior. Pero, siempre que X esté alcanzando un nuevo máximo, digamos en $X_t$ , $M_t = X_t$ por la definición de que M es el máximo de X hasta ese punto. Por tanto, el único caso en el que $dM_s=0$ es cuando $M_s=X_s$ . Espero que esto tenga sentido. Intenta dibujar las trayectorias de muestra de X y M por ti mismo; esto debería aclarar lo que estoy tratando de explicar.