Mejor forma de factorizar $x^2-a^2+x+a$

Question

Actualmente estoy en el tema de la factorización y tengo el siguiente problema:

Factorizar completamente: $$ {x^2}-{a^2}+x+a $$

Lo que hice fue lo siguiente:

Crear un factor común: $$ x({1^2}+1)-a(1^2-1) $$ Pero crear un factor común no funcionó.

Después de muchas adivinanzas, obtuve la respuesta correcta: $$(x+a)(x-a+1)$$

Mi pregunta es, ¿hay alguna manera de obtener esta respuesta sin adivinar mucho?

Answer 1

Los dos primeros términos son un diferencia de cuadrados . Esto puede ser factorizado $x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)$ . Utilizando este hecho, obtenemos:

$$\begin{align} {x^2}-{a^2}+x+a & = \color{blue}{(x+a)}(x-a) + \color{blue}{(x +a)} \\ \\ & = \color{blue}{(x+a)}((x-a) + 1)\\ \\ & = (x+a)(x-a+1)\end{align}$$

Answer 2

Se trata de un polinomio cuadrático en $x$ por lo que se puede factorizar utilizando las técnicas habituales y sus análogos para la factorización de polinomios cuadráticos. (alternativamente, puedes verlo como un polinomio cuadrático en $a$ )

El método de "fuerza bruta" sería utilizar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces. Sin embargo, las técnicas de factorización que implican mirar los factores de los términos principales y constantes son eficaces para este problema.

Answer 3

Para factorizar un polinomio cuadrático podemos utilizar los ceros del polinomio. Si el polinomio es $$x^2+px+q$$ y los ceros son $x_1$ y $x_2$ entonces tenemos $$x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$$ y $x_1$ y $x_2$ son las soluciones de la ecuación $$x^2+px+q=0$$ que vienen dados por $$x_{1,2}=\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$$ El polinomio $${x^2}-{a^2}+x+a \tag{1}$$ puede verse como un polinomio con la variable $x$ con coeficientes que son polinomios con variable $a$ en $\mathbb{Z}$ por lo que escribimos $(1)$ como $$x^2+x+(a-a^2) \tag{2}$$ y tenemos $$\begin{array}\\ p&=&1\\ q&=&a-a^2 \end{array}$$ y por lo tanto $$\frac{p^2}{4}-q=a^2-a+\frac{1}{4}=(a-\frac{1}{2})^2 \tag{3}$$ Así que $$\begin{array}\\ x_1&=&-\frac{1}{2}+(a-\frac{1}{2})&=&a-1\\ x_2&=&-\frac{1}{2}-(a-\frac{1}{2})&=&-a\\ \end{array}$$ Así que la factorización es $$(x-x_1)(x-x_2)=(x-(-a))(x-(a-1))$$ No he demostrado aquí que este procedimiento deba funcionar siempre (por ejemplo, que la raíz cuadrada exista), pero se puede comprobar que el resultado calculado es una factorización del polinomio dado. Se pueden encontrar más detalles (incluso para grados mayores de 3) aquí.