Una versión etale del teorema de van Kampen

Question

Dejemos que $V$ sea una variedad algebraica conexa suave sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Sea $W_1, W_2$ sean subvariedades cerradas de $V$ de codimensión positiva cuya intersección $W_1 \cap W_2$ tiene una codimensión de al menos 2, y sea $p$ sea un punto en $V \backslash (W_1 \cup W_2)$ . Entonces podemos formar los cuatro grupos fundamentales etale

$$ \pi_1( V, p ), \pi_1(V \backslash W_1, p), \pi_1(V \backslash W_2, p ), \pi_1(V \backslash (W_1 \cup W_2), p ).$$

Existen homomorfismos canónicos suryectos de $\pi_1(V \backslash W_1, p)$ y $\pi_1(V \backslash W_2, p)$ a $\pi_1(V, p)$ y de $\pi_1(V \backslash (W_1 \cup W_2),p)$ a $\pi_1(V \backslash W_1, p)$ y $\pi_1(V \backslash W_2, p)$ formando un cuadrado conmutado. (La subjetividad viene del hecho de que una cubierta etale finita conectada de una variedad suave sigue siendo conectada incluso si se quita un trozo de codimensión positiva de la base). Por tanto, existe un homomorfismo canónico de $\pi_1(V \backslash (W_1 \cup W_2),p)$ al producto de fibra $\pi_1(V \backslash W_1, p) \times_{\pi_1(V,p)} \pi_1(V \backslash W_2,p)$ .

Mi pregunta es: ¿este último homomorfismo es necesariamente también surjetivo?

En el caso de que $k$ tiene característica cero, creo que puedo deducirlo del teorema topológico de van Kampen, después de usar primero el teorema de existencia de Riemann para describir el grupo fundamental etale como la terminación profinita del grupo fundamental topológico (después de pasar a un modelo complejo). En el caso de la característica positiva, parece que se reduce (si entiendo correctamente la construcción del grupo fundamental etale) a verificar el siguiente hecho: si uno tiene dos cubiertas etale finitas de $V \backslash W_1$ y $V \backslash W_2$ respectivamente, que se convierten en isomorfas al restringirlas a $V \backslash (W_1 \cup W_2)$ y luego se pueden "pegar" para crear una cubierta etale finita de $V$ (o de $V \backslash (W_1 \cap W_2)$ ). Razonando por analogía con el caso topológico, esto me parece muy razonable, pero tuve problemas para verificarlo rigurosamente (podía pegar las coberturas como una prevariedad, pero luego no podía establecer la separabilidad para que la cobertura volviera a ser una variedad).

Answer 1

Para simplificar la notación, escribo $U_i$ para $V\smallsetminus W_i$ y $U_{12}$ para $U_1\cap U_2=V\smallsetminus(W_1\cup W_2)$ .

Datos : El functor obvio $$(\mathrm{Sch}/V)\longrightarrow (\mathrm{Sch}/U_1) \times_{(\mathrm{Sch}/U_{12})} (\mathrm{Sch}/U_2)$$ es una equivalencia. En otras palabras, un $V$ -sistema $X$ es lo mismo que un $U_1$ -sistema $X_1$ , a $U_2$ -sistema $X_2$ y un $U_{12}$ -isomorfismo de sus restricciones a $U_{12}$ .
Esto es probablemente en algún lugar en EGA1. [EDIT: todo lo que pude encontrar fue la sección 2.4 de EGA1, basándome en (4.1.7) del capítulo 0 (pegado de espacios anillados)].
Sin embargo, estamos tratando aquí con esquemas finitos estales, que resultan ser afines sobre la base, por lo que esto se reduce a la afirmación análoga para las categorías de gavillas cuasicoherentes, que es esencialmente trivial (además del hecho de que ``finito estal'' es una condición local).

Si describimos las categorías de coberturas étale finitas en términos de $\pi_1$ -la equivalencia anterior dice que el diagrama de grupos $$(*)\qquad\begin{array}{rcl} \pi_1(U_{12},p)=:G_{12}& \longrightarrow &G_1:=\pi_1(U_{1},p)\cr \downarrow && \downarrow\cr \pi_1(U_{2},p)=:G_2& \longrightarrow &G:=\pi_1(V,p) \end{array}$$ es coartesiano . En otras palabras, obtenemos la afirmación habitual de van Kampen: el mapa natural $$\pi_1(U_{1},p)\ast_{\pi_1(U_{12},p)}\pi_1(U_{2},p)\longrightarrow \pi_1(V,p)$$ es un isomorfismo. [EDIT: el coproducto está en la categoría profinita, lo que quizás hace que sea difícil de describir en general. Véase el comentario de Will Savin].

Lo que queremos demostrar es que el mapa "del otro lado" $$G_{12}\longrightarrow G_1 \times_G G_2$$ es suryente, dado que todos los mapas del diagrama ( $\ast$ ) son suryentes .

Identificación de $G_i$ ( $i=1,2$ ) con $G_{12}/N_i$ vemos por la propiedad universal del coproducto que $G=G_{12}/N_{1}N_{2}$ . [EDIT: claramente esto funciona también en la categoría profinita: ya que $N_1$ , $N_2$ son ambos subgrupos normales compactos, por lo que $N_1 N_2$ Por lo tanto $G_{12}/N_{1}N_{2}$ es profinita].

Tome cualquier $(x_1,x_2)\in G_1 \times_G G_2$ : por lo tanto, tenemos $x_i=g_i N_i$ para algunos $g_i\in G_{12}$ y la condición del producto fibra dice que $g_1=g_2 n_2 n_1$ para algunos $n_i\in N_i$ (recordemos que $N_1 N_2=N_2 N_1$ ). Así que, $(x_1,x_2)$ es la imagen de $g_1 n_{1}^{-1}=g_2 n_2\in G_{12}$ . QED