Es $\int_{M_{n}(\mathbb{R})} e^{-A^{2}}d\mu$ convergente integral?

Question

Es la siguiente integral convergente integral? Podemos calcular que, precisamente?

$$\int_{M_{n}(\mathbb{R})} e^{-A^{2}}d\mu $$

Aquí $\mu$ es la medida habitual de $M_{n}(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^{n^{2}}$?

Por lo $\mu$ puede ser considerado como $\mu=\prod_{i,j} da_{ij}$

Nota: Si esta integral sería convergente , ya sea en Lebesgue o en el sentido de Riemann, entonces sería igual a una matriz escalar. Debido a que para cada matriz invertible $P$ tenemos:

$P^{-1}(\int_{M_{n}(\mathbb{R})} e^{-A^{2}}d\mu) P= \int_{M_{n}(\mathbb{R})} e^{-(P^{-1}AP)^{2}}d\mu=\int_{M_{n}(\mathbb{R})} e^{-A^{2}}d\mu$ desde la asignación $A\mapsto P^{-1}AP$ es una medida para preservar y volum preservar lineal mapa.Ahora aplicamos el cambio de coordenadas de la fórmula integral.

Answer 1

Con $n=2$, podemos observar en las matrices de $A$ tal que $A^2$ tiene los autovalores con parte real negativa. Al $T(A)^2-4\Delta(A)<0$, la parte real de los autovalores de a$A^2$$\frac{T^2}{4}-\frac{4\Delta-T^2}{4}=\frac{2T^2-4\Delta}{4}$. Por lo $A^2$ tiene los autovalores con parte real negativa proporcionada $T^2<2\Delta$ (una condición más fuerte que el de $T^2<4\Delta$). Uno de los más simples a las matrices con esta propiedad es

$$Q=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.$$

Consideremos ahora una pequeña perturbación de $Q$:

$$\begin{bmatrix} \delta_1 & -1+\delta_2 \\ 1+\delta_3 & \delta_4 \end{bmatrix}$$

La desigualdad lee ahora

$$\delta_1^2 + 2 \delta_1 \delta_4 + \delta_4^2 < 2 \delta_1 \delta_4 - 2(-1+\delta_2)(1+\delta_3).$$

De forma equivalente:

$$\delta_1^2+\delta_4^2<2+2\delta_3-2\delta_2-2\delta_2 \delta_3.$$

En vista de esta desigualdad se puede considerar que la hipercubo $H$ con "radio" $1/12$$Q$. Si $A \in H$$T^2-2\Delta<-1$$\frac{2T^2-4\Delta}{4}<-1/2$. Por lo tanto los autovalores de a $A^2$ tienen parte real menor que $-1/2$. También el volumen de $H$$(1/6)^4>0$.

Ahora la integral de $e^{-A^2}$ sobre el conjunto de todos los múltiplos escalares de los elementos de $H$ no convergen absolutamente.