Dominio en forma de estrella en una forma espacial

Question

Dejemos que $M$ sea $\mathbb R^n$ , $\mathbb H^n$ o $\mathbb S^n$ y $p\in M$ por un dominio en forma de estrella con respecto a $p$ Me refiero a un subconjunto abierto conectado $\Omega$ en $M$ que contiene $p$ tal que su frontera es suave y para cada punto $q\in \Omega$ el segmento geodésico más corto que une $p$ y $q$ está contenida en $\Omega$ . (Si $M= \mathbb S^n$ Supongo que $\Omega$ no contiene $-p$ . )

Me parece que lo siguiente es cierto: si $\partial_r$ denota el campo vectorial radial de $p$ y $\nu$ es el vector unitario exterior de $\partial \Omega$ entonces $\langle \partial_r, \nu\rangle \ge 0$ . Creo que esto se puede ver utilizando las coordenadas normales. Pero se vuelve bastante tedioso cuando empiezo a escribir los detalles. Así que me pregunto si es un resultado clásico y dónde puedo encontrar una referencia (bueno, he buscado pero la mayoría de los artículos son sobre $\mathbb R^n$ ), o ¿existe una prueba "limpia" de este resultado?

Answer 1

Es cierto, y fácil de demostrar. Consideremos el caso de $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ . Sea $q\in\partial\Omega$ y asumir wlog $q=0$ . Por lo tanto, ya que $\overline\Omega$ tiene forma de estrella con respecto a $p$ , $\lambda p\in\overline\Omega$ para todos $0 \le \lambda \le 1$ . Pero para los pequeños positivos $\lambda$ Esto implica $\langle \lambda p, \nu_q\rangle \ge 0$ por definición de la normalidad exterior $\nu$ en $q$ Por lo tanto, la tesis $\langle p,\nu_q\rangle\ge0$ .