¿Cómo podría escribir esta prueba de manera formal?

Question

Sea c Z: Escribe una prueba estructurada y detallada para demostrar la afirmación:

Si c^5 + 7 is even, then c is odd .

Yo empecé así:

Assume c  Z
    Assume c^5 + 7 == 2n
        Then c == 2n + 1

Además, ¿es cierta esta afirmación? He introducido los números de impar para c, y no he encontrado ningún contraejemplo. ¿Hay alguna manera de determinar la veracidad de la afirmación antes de hacer la prueba?

Answer 1

Has omitido bastante entre el "Supuesto" y el "Entonces".

Dicho esto, me permito sugerir el uso de la Contrapositivo ?

Es lógicamente equivalente, y afirma:

Si $c$ es par, entonces c^5 + 7 es impar.

Esto es bastante sencillo de demostrar. Supongamos que $c = 2k$ para algún número entero $k$ . Entonces $c^5 + 7 = (2k)^5 + 7 = 2(16k^5 + 3) + 1$ , que es impar. QED.

Answer 2

Su conclusión debe ser "Entonces $c = 2m + 1$ para algún otro número entero $m$ (probablemente no será el caso que $c^5 + 7 = 2n$ y $c = 2n + 1$ para el mismo $n$ ).

Tus dos primeros pasos están bien, aunque quizás ampliaría el segundo paso y diría:

1. Supongamos que $c\in\mathbb{Z}$
2. Supongamos que $c^5 + 7$ es incluso
3. Entonces $c^5 + 7 = 2n$ para algunos $n\in\mathbb{Z}$

Los siguientes pasos podrían ir en la línea de probar las afirmaciones

1. Si $c^5 + 7$ es par, entonces $c^5$ es impar
2. Si $c^5$ es impar, entonces $c$ debe ser impar.

Un enfoque totalmente diferente

También podrías intentar argumentar el contrapositivo, que es

'si $c$ es no impar, entonces $c^5 + 7$ no es ni siquiera

es decir

'si $c$ es par, entonces $c^5 + 7$ es impar'

Answer 3

Tenemos estas equivalencias

$$c^5+7\ \text{is even}\iff c^5\ \text{is odd}\iff c \ \text{is odd}$$

La última equivalencia se puede demostrar mediante una prueba contrapositiva y una prueba directa

$\Rightarrow)$ por contraposición: Si $c=2n$ entonces $c^5=2\times 2^4n^5$ está en paz.

$\Leftarrow)$ Si $c=2n+1$ entonces $(2n+1)^5=\sum_{k=0}^5{5\choose k}(2n)^k=1+\underbrace{\sum_{k=1}^5{5\choose k}(2n)^k}_{even}$

Answer 4

La afirmación es efectivamente cierta.

Ahora, cómo proceder: si $c\in\mathbb Z$ entonces $c^5$ tiene la misma paridad que $c$ , vamos a ver cómo escribir la prueba más tarde.

Por lo tanto, si $c^5$ es impar, entonces $c$ es impar. Y $c^5$ es impar porque $c^5+\text{odd}=\text{even}$ .

Ahora tienes que escribirlo al revés:

1. Si $c^5+7$ es par, entonces $c^5$ es impar (porque $7$ es impar y $\text{even}-\text{odd}$ es impar).
2. Si $c^5$ es impar para un número entero $c$ entonces $c$ es impar. (por contradicción: si $c$ eran iguales, entonces hay $k\in\mathbb Z$ para que $c=2k$ y $c^5=32k^5=2(16k^5)$ que es par).
3. Para ello $c$ es impar.