Evaluar $\int \cfrac{150u^3}{e^{\pi u}-1}du$

Question

Cuando estaba viendo el contenido de Vtuber, encontré este tipo tiene una fórmula integral en su cabecera de twitter.

$$\int \cfrac{150u^3}{e^{\pi u}-1}du$$

Parece que no hay ningún intento de evaluar esta integral en Internet, así que quise probarla yo mismo.

Mi intento:

Dejemos que $x = \pi u$ Así que $\cfrac{dx}{du}= \pi$ y $du=\cfrac{dx}{\pi}$ .

también, $u=\cfrac{x}{\pi}$ .

Reescribiendo la integral por $x$ y $dx$ Podemos escribir:

$$\int \cfrac{150u^3}{e^{\pi u}-1}du = \int \cfrac{150(\cfrac{x}{\pi})^3}{e^{x}-1}\times \cfrac{dx}{\pi}= \int \cfrac{150\cfrac{x^3}{\pi^3}}{\pi\times(e^{x}-1)}dx=\int \cfrac{150x^3}{\pi^4(e^{x}-1)}dx$$ Y me quedé aquí. También estoy pensando en la integración parcial, pero no tengo ni idea.

¿Cómo puedo evaluar esto desde aquí?

Answer 1

Sospecho que no existe una forma cerrada en funciones elementales para esta integral indefinida por una buena razón.

El Función Zeta de Rieman y Función gamma se relacionan entre sí mediante esta integral $$\zeta(s) \Gamma(s) = \int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x -1 } \, dx$$ donde $\Re(s) > 1$

Así que obtenemos $$\int_0^{\infty} \frac{x^3}{e^x -1} \, dx = \zeta(4)\Gamma(4) = \frac {\pi^{15}}{15}$$

Sin embargo, podemos tener una representación en serie de potencias utilizando $$\frac{x^3}{e^x -1} = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{B_mx^{m+2}}{m!}$$ donde $B_m$ son El número de Bernouli .