forma general de una transformación de Lorentz en $\mathbb{R}^2$

Question

¿Es cierto que toda transformación de Lorentz que actúa sobre $\mathbb{R}^2$ es de la forma $$\begin{pmatrix} \cosh(s) & \sinh(s) \\ \sinh(s) & \cosh(s) \end{pmatrix}$$ para algunos $s \in \mathbb{R}$ ? Si es así, ¿por qué es así? Entiendo que hay una analogía, en la que toda transformación ortogonal sobre $\mathbb{R}^2$ puede escribirse como $$\begin{pmatrix} \cos(s) & -\sin(s) \\ \sin(s) & \cos(s) \end{pmatrix}$$ para algunos $s \in [0,2\pi)$ .

Answer 1

Por lo tanto, una transformación de Lorentz en $\mathbb R^{1+n}$ es por definición un mapa lineal $L\colon \mathbb R^{1+n}\to \mathbb R^{1+n}$ que preserva la forma cuadrática $$\eta(t, x)=t^2-\lvert x\rvert^2.$$ En su pregunta está interesado en $n=1$ , en cuyo caso $\eta$ se reduce a $t^2-x^2$ . Si ahora dejas que $$\tag{1} \tilde{t}=\cosh(s) t + \sinh(s)x, \qquad \tilde{x}=\sinh(s)t+\cosh(s)x,$$ ves que $$\eta(\tilde t, \tilde x)=(\cosh^2(s) - \sinh^2(s))\eta(t, x)=\eta(t,x),$$ porque $\cosh^2(s) - \sinh^2(s)=1$ que es el análogo de la conocida relación $\cos^2(s)+\sin^2(s)=1$ .

Así que efectivamente esa matriz que escribiste es una transformación de Lorentz. ¿Hay alguna otra? Sí las hay: las siguientes $$\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ es una transformación de Lorentz y no está en la familia que has escrito. Sin embargo, esta última tiene determinante $-1$ . Todas las transformaciones (1) tienen determinante $+1$ .

En realidad, las transformaciones (1) pueden caracterizarse como las únicas transformaciones de Lorentz ortocronas positivas. Esto significa que son las únicas transformaciones $L$ con $\det L>0$ (por lo tanto $\det L=1$ ) y tal que $L(t, x)=(\tilde t, \tilde x)$ satisface $\tilde t>0$ , siempre y cuando $t>0$ y $\eta(t, x)>0$ ; estos vectores se denominan "de tiempo positivo", como se ha señalado en los comentarios.