Probar que el producto de un racional y un número irracional es irracional

Question

Podría por favor confirmar si esta prueba no es correcta?

Teorema: Si $q \neq 0$ es racional y $y$ es irracional, entonces $qy$ es irracional.

Prueba: prueba por contradicción, suponemos que $qy$ es racional. Por lo tanto, $qy=\frac{a}{b}$ para los números enteros $a$, $b \neq 0$. Desde $q$ es racional, tenemos $\frac{x}{z}y=\frac{a}{b}$ para los números enteros $x \neq 0$, $z \neq 0$. Por lo tanto, $xy = a$, e $y=\frac{a}{x}$. Dado que tanto $a$ $x$ son enteros, $y$ es racional, conduce a una contradicción.

Answer 1

Como puedo mencionar aquí con frecuencia, esta omnipresente propiedad es simplemente una instancia de complementarios vista del subgrupo de propiedad, es decir,

TEOREMA $\ $ a UN subconjunto no vacío $\rm\:S\:$ de grupo abelian $\rm\:G\:$ consta de un subgrupo $\rm\iff\ S\ + \ \bar S\ =\ \bar S\ $ donde $\rm\: \bar S\:$ es el complemento de a $\rm\:S\:$ $\rm\:G$

Ejemplos de esto son omnipresentes en concreto el número de sistemas, por ejemplo,

Answer 2

Un grupo de teóricos de la prueba: sabes que si $G$ es un grupo y $H\neq G$ es uno de sus subgrupos, a continuación, $h \in H$ $y \in G\setminus H$ implica que el $hy \in G\setminus H$. Prueba: supongamos $hy \in H$. Usted sabe que $h^{-1} \in H$, y por lo tanto $y=h^{-1}(hy) \in H$. Contradicción.

En nuestro caso, tenemos el grupo de $(\Bbb{R}^*,\cdot)$ y su correcta subgrupo $(\Bbb{Q}^*,\cdot)$. Por los argumentos anteriores $q \in \Bbb{Q}^*$ $y \in \Bbb{R}\setminus \Bbb{Q}$ implica $qy \in \Bbb{R}\setminus \Bbb{Q}$.

Answer 3

Vamos a ver cómo podemos modificar su argumento para que sea perfecto.

Primero de todo, un menor de edad exigente punto. Usted escribió $$qy=\frac{a}{b} \qquad\text{where $$ and $b$ are integers, with $b \ne 0$}$$

Hasta ahora, todo bien. Luego vienen los su $x$$z$. La integridad, debería haber dicho "Vamos a $x$, $z$ ser números enteros tales que a $q=\frac{x}{z}$. Tenga en cuenta que ni $x$ ni $z$$0$." Básicamente, usted no dice lo que la conexión $x/z$ tenía con $q$, aunque es cierto que cualquier persona razonable podría saber lo que significaba. Por cierto, yo probablemente hubiera elegido el de las cartas de $c$ $d$ en lugar de $x$$z$.

Ahora, para los que no picky punto. Llegó a $$\frac{x}{z}y=\frac{a}{b}$$ A partir de que haya concluido directamente que $$y=\frac{za}{xb}$$ que termina las cosas, pues las $za$ $xb$ son enteros.

Answer 4

No creo que sea correcto. Me parece una buena idea para indicar tanto la x como un número entero, y z como un entero distinto de cero. Entonces usted también quiere "resolver" y, que como Eric señala, que no acababa de hacer.