Fracción continua de la función binomial $(1+z)^{1/4}$

Question

Si pido a WolframAlpha el fracción continua de $(1+z)^{1/4}$ Me sale

y me pregunto cuál sería la representación para cualquier $k = n$ ? ¿Podría darme alguna pista o referencia?

Answer 1

Este es un caso particular de La fracción continua de Gauss para el cociente de funciones hipergeométricas:

$$\frac{{_2 F_1}(A,B+1;C+1;Z)}{{_2 F_1}(A,B;C;Z)}=\cfrac{1}{1-\cfrac{\frac{A(C-B)}{C(C+1)}Z}{1-\cfrac{\frac{(B+1)(C-A+1)}{(C+1)(C+2)}Z}{1-\cfrac{\frac{(A+1)(C-B+1)}{(C+2)(C+3)}Z}{1-\cfrac{\frac{(B+2)(C-A+2)}{(C+3)(C+4)}Z}{1- \dots}}}}}$$

La elección de las funciones se vuelve un poco complicada, así que me limitaré a escribir sin pruebas (véase también el artículo para el función hipergeométrica ):

$$(1+z)^a=1+az \frac{{_2 F_1}(1,1+a;2;-z)}{{_2 F_1}(1,a;1;-z)}$$

Sustituyendo los parámetros, obtenemos:

$$(1+z)^a=1+\cfrac{az}{1+\cfrac{\frac{1 \cdot (1-a)}{1 \cdot 2}z}{1+\cfrac{\frac{1 \cdot (1+a)}{2 \cdot 3}z}{1+\cfrac{\frac{2 \cdot (2-a)}{3 \cdot 4}z}{1+\cfrac{\frac{2 \cdot (2+a)}{4 \cdot 5}z}{1+ \dots}}}}}$$

Espero que quede claro cómo continuar.

Ahora sustituye $a=\frac{1}{4}$ para obtener su fracción continua.