¿Es la similitud simultánea de las matrices independiente del campo base?

Question

Supongamos que $F$ es un subcampo de un campo $E$ y, para
$n\times n$ matrices $A_1,\dots,A_m, B_1,\dots,B_m$ en $F$ existe una matriz $T\in{\rm GL}_n(E)$ tal que $T^{-1}A_iT=B_i$ para todos $i$ .

¿Implica esto que dicha matriz $T$ se puede elegir entre ${\rm GL}_n(F)$ ?

Es fácil ver que la respuesta es

• sí si $m=1$ ;
• y sí si el campo $F$ es infinito.

Answer 1

Esta pregunta es contestado en los comentarios :

"Como todo el mundo dice, esto se deduce de Noether-Deuring. Véase mathoverflow.net/questions/28469/hilbert-90-for-algebras para una prueba rápida. También hice esta pregunta hace un tiempo math.stackexchange.com/questions/305696 ."

        - David E. Speyer

¡Gracias a todos!