La operada ordinaria con una salida puede considerarse obviamente como un módulo libre sobre sí misma. ¿Existe una construcción análoga para la operada con muchas salidas (PROP)? Esta debe ser una pregunta difícil, pero ¿cuál es la razón conceptual para que en el contexto de operadas? También, por favor, indíqueme formas de producir representaciones de tales estructuras. Algunas referencias y resultados más allá de operadas ordinarias son bienvenidos también.
Respuesta
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ademar111190
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Si entiendo su primera pregunta, está buscando un esquema de pegado para PROPs.
Por analogía, en una operada libre (no simétrica) $\mathcal{P}$ Los esquemas de pegado son árboles planares enraizados en los que los nodos internos están etiquetados en los generadores de $\mathcal{P}$ . La aridad de un árbol es el número de sus hojas y la composición $S \circ_i T$ de dos árboles $S$ y $T$ es el injerto de la raíz de $T$ en el $i$ hoja de $S$ .
En un PROP libre $\mathcal{R}$ generado por un conjunto $G$ de los generadores, se puede considerar un elemento $g \in G$ con $p$ entradas y $q$ como un nodo de un grafo dirigido con $p$ bordes de entrada y $q$ bordes salientes. Como estas aristas no conectan dos nodos sino un nodo con nada, llamémoslas piernas . Además, los tramos de entrada (o de salida) se etiquetan bijetivamente en $\lbrace1, \dots, p\rbrace$ (resp. $\lbrace1, \dots, q\rbrace$ ).
En $\mathcal{R}$ la composición horizontal $g \star h$ de dos generadores es simplemente la yuxtaposición de sus gráficos con una renumeración natural de los tramos de $h$ . Además, la composición vertical $g \circ h$ , definida sólo cuando $g$ tiene tantas entradas $r$ que las salidas en $h$ consiste en conectar el $i$ -a la entrada de la pierna de $g$ con el $i$ -a la salida de la etapa de $h$ para todos $1 \leq i \leq r$ .
Por lo tanto, se puede deducir que pegar esquemas de $\mathcal{R}$ son grafos dirigidos etiquetados en $G$ sin ciclo dirigido y tal que los tramos entrantes (o salientes) se etiquetan biyectamente en un segmento inicial de $\mathbb{N} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ .
Para tu segunda pregunta, un álgebra sobre una PROP es simplemente un espacio vectorial (o un conjunto, o cualquier otra categoría adecuada) equipado con operaciones y cooperaciones.
Por ejemplo, consideremos el PROP $\mathcal{B}$ en la categoría de espacios vectoriales generados por un elemento $\mu$ con dos entradas y una salida y un elemento $\Delta$ con una entrada y dos salidas, sometida a las siguientes relaciones: \begin{equation} \mu \circ (\mu \star I) = \mu \circ (I \star \mu), \end{equation} \begin{equation} (\Delta \star I) \circ \Delta = (I \star \Delta) \circ \Delta, \end{equation} y \begin{equation} \Delta \circ \mu = ((\mu \star \mu) \cdot 1324) \circ (\Delta \star \Delta), \end{equation} donde $I$ es la unidad y $\cdot$ es la acción del grupo simétrico sobre $\mathcal{B}$ .
Ahora, las álgebras sobre $\mathcal{B}$ son bialgebras (no unitales), es decir, espacios vectoriales $V$ con dos operaciones (co)asociativas $\mu : V \otimes V \to V$ y $\Delta : V \to V \otimes V$ tal que, para cualquier $x, y \in V$ , \begin{equation} \Delta(x \; \mu \; y) = \Delta(x) . \Delta(y), \end{equation} donde $.$ en el lado derecho es el producto tensorial utilizando $\mu$ .
Puede encontrar más detalles en el siguiente documento:
Markl, Martin. Operadas y PROPs. Manual de álgebra. Vol. 5, 87--140, Handb. Algebr., 5, Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2008.
