Solución a un sistema masa-muelle SDOF con una rigidez de muelle que varía con el desplazamiento

Question

Estoy viendo un sistema SDOF donde la rigidez del resorte, $K$ es una función del desplazamiento, $x$ , de tal manera que $K=x^2$ . Utilizando el equilibrio dinámico, el problema puede escribirse como

$$Mx' ' + Kx = 0 \mid K=x^2$$

$$Mx' ' + x^3 = 0 $$

Esto se diferencia con respecto al tiempo.

Estoy buscando una solución válida para este problema, concretamente, la frecuencia natural.

Answer 1

Usted tiene $$mx''=-x^{3}$$ Multiplicar por $x'$ $$mx'x''=-x'x^{3}$$ Integrar $$(x')^{2}+\frac{x^{4}}{2m}=c$$ Que $$x'=\pm\sqrt{c-\frac{x^{4}}{2m}}$$ Esto da $$t-t_{0}=\pm\int_{x_{0}}^{x}\frac{dy}{\sqrt{c-\frac{y^{4}}{2m}}}$$ Ahora tenemos que evaluar $$I=\int_{x_{0}}^{x}\frac{dy}{\sqrt{c-\frac{y^{4}}{2m}}}$$ Hacemos la sustitución $y=\big(\frac{2m}{c}\big)^{1/4}z$ $$I=\frac{(2m)^{1/4}}{c^{3/4}}\int_{\big(\frac{c}{2m}\big)^{1/4}x_{0}}^{\big(\frac{c}{2m}\big)^{1/4}x}\frac{dz}{\sqrt{1-z^{4}}}=\frac{(2m)^{1/4}}{c^{3/4}}\Big[\mathfrak{F}\Big{(}\arcsin\Big{\{}\big(\frac{c}{2m}\big)^{1/4}x\Big{\}}|-1\Big{)}-\mathfrak{F}\Big{(}\arcsin\Big{\{}\big(\frac{c}{2m}\big)^{1/4}x_{0}\Big{\}}|-1\Big{)}\Big]$$ Donde $\mathfrak{F}(a|b)$ es la integral elíptica del primer tipo http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html