Las formas cuadráticas desempeñan un gran papel en las matemáticas. Esto nos lleva a preguntarnos: ¿Existe una teoría de las formas cúbicas, cuárticas, quínticas, etc.? No he descubierto ninguna. ¿Existe tal teoría? Si no es así, es porque:
Una vez le hice la misma pregunta a André Weil.
Cuando estaba en la universidad, cursando una asignatura en la que se hablaba de formas cuadráticas, Weil dio una conferencia como invitado a los estudiantes sobre ese tema. Después de la charla, levanté la mano y le pregunté por qué había tanto revuelo en las matemáticas sobre las formas cuadráticas mientras que parecía que no había nada comparable para las formas de grado superior. Weil dio una respuesta, pero muy a mi pesar no pude entenderla (dificultad para oírle) y no le pedí después que repitiera lo que había dicho. Ahora, muchos años después, puedo ofrecer una respuesta que creo que mi antiguo alumno habría encontrado satisfactoria.
Antes de comenzar, permítanme señalar que todos conocemos una importante forma de grado superior: la forma determinante de grado $n$ . Así que es razonable preguntarse qué tipo de teoría general podría haber para las formas de mayor grado.
Primero veamos que la biyección entre las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas se generaliza a un grado superior. Recordemos que para un campo $F$ no de la característica $2$ existe una biyección entre las formas cuadráticas $Q : F^n \to F$ y formas bilineales simétricas $B : F^n \times F^n \to F$ por $Q(\mathbf x) = B(\mathbf x,\mathbf x)$ y $$ B(\mathbf x,\mathbf y) = \frac{1}{2}(Q(\mathbf x + \mathbf y) - Q(\mathbf x) - Q(\mathbf y)). $$ Sustitución de $2$ por un grado $d \geq 1$ para un campo $F$ donde $d! \not= 0$ (es decir $F$ tiene la característica $0$ o característica $p$ para $p > d$ ) existe una biyección entre las formas $f : F^n \to F$ de grado $d$ y simétrico $d$ -Mapas multilineales $\Phi : \underbrace{F^n \times \cdots \times F^n}_{d \ {\sf copies}} \to F$ donde $f(\mathbf x) = \Phi(\mathbf x,\ldots,\mathbf x)$ y $$ \Phi(\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_d) = \frac{1}{d!}\sum_{\substack{J \subset \{1,\ldots, d\} \\ J \not= \emptyset}} (-1)^{d - |J|}f\left(\sum_{j \in J} \mathbf x_j\right), $$ (Puede incluir $J = \emptyset$ en la suma por la convención habitual de que una suma vacía es $\mathbf 0$ ya que $f(\mathbf 0) = 0$ .) Por ejemplo, cuando $f$ es una forma cúbica ( $d = 3$ , $n$ arbitraria), la forma trilineal simétrica asociada es $$ \Phi(\mathbf x,\mathbf y,\mathbf z) = \frac{1}{6}(f(\mathbf x + \mathbf y + \mathbf z) - f(\mathbf x + \mathbf y) - f(\mathbf x + \mathbf z) - f(\mathbf y + \mathbf z) + f(\mathbf x) + f(\mathbf y) + f(\mathbf z)). $$ Por ejemplo, si $f : F^3 \to F$ por $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^3+x_2^3+x_3^3$ entonces $\Phi(\mathbf x,\mathbf y,\mathbf z) = x_1y_1z_1 + x_2y_2z_2+x_3y_3z_3$ . La fórmula general para $\Phi$ en términos de $f$ muestra por qué queremos $d! \not= 0$ en $F$ . Sobre campos de característica $0$ Creo que esta biyección se debe a Weyl.
Utilizando esta biyección, llamamos a una forma $f$ de grado $d$ nondegenerate si, para la correspondiente forma multilineal simétrica $\Phi$ tenemos $\Phi(\mathbf x,\mathbf y, \ldots, \mathbf y) = 0$ para todos $\mathbf y$ en $F^n$ sólo cuando $\mathbf x = \mathbf 0$ . (Equivalentemente, tenemos $\Phi(\mathbf x,\mathbf x_2, \ldots, \mathbf x_d) = 0$ para todos $\mathbf x_2, \ldots, \mathbf x_d$ en $F^n$ sólo cuando $\mathbf x = \mathbf 0$ .) Cuando $d = 2$ (el caso de las formas cuadráticas), esta es la noción habitual de una forma cuadrática no degenerada (o forma bilineal simétrica no degenerada).
El hecho de que la biyección entre las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas pueda extenderse a grados superiores sugiere que podría haber una teoría general en grado superior que sea igual que el caso cuadrático, pero resulta que realmente hay diferencias significativas entre las formas cuadráticas y las de grado superior. He aquí dos de ellas.
Fuera de la característica 2, una forma cuadrática puede ser diagonalizada tras un cambio lineal de variables, pero para $n \geq 3$ una forma de grado $n$ podría no ser diagonalizable después de cualquier cambio lineal de variables. Mientras que cualquier no degenerado binario forma cúbica sobre $\mathbf C$ se puede diagonalizar (ver el inicio de la prueba del Lemma 1.7 ici (en el caso binario, la no degeneración de una forma cúbica equivale a que la deshomogeneización sea un polinomio cúbico con discriminante distinto de cero), las formas cúbicas no degeneradas sobre $\mathbf C$ en más de dos variables no necesita ser diagonalizable. Por ejemplo, la forma cúbica de tres variables $x^3 - y^2z - xz^2$ es no degenerado y no puede ser diagonalizado sobre $\mathbf C$ por una razón relacionada con las curvas elípticas: ver mis comentarios en las páginas de MO ici et ici . Para cada $d \geq 3$ et $n \geq 2$ excepto para $d=3$ et $n = 2$ hay formas no degeneradas de grado $d$ en $n$ variables sobre $\mathbf C$ que son suaves lejos de $(0,0,\ldots,0)$ y no son diagonalizables. Obsérvese la forma diagonal $x_1^d + \cdots + x_n^d$ es suave lejos del origen.
Para un formulario $f(x_1,\ldots,x_n)$ sobre un campo $F$ , su grupo ortogonal son los cambios lineales de las variables en $F^n$ que lo conservan: $$ O(f) = \{A \in {\rm GL}_n(F) : f(A\mathbf v) = f(\mathbf v) \ {\rm for \ all } \ \mathbf v \in F^n\}. $$ Las formas cuadráticas no degeneradas tienen un grupo ortogonal rico (muchas reflexiones) y algunas formas de grado superior tienen un grupo ortogonal grande: si $f$ es la forma determinante de grado $n$ entonces su grupo ortogonal es ${\rm SL}_n(F)$ . Pero para una forma $f$ de grado $d \geq 3$ sobre un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ , $O(f)$ es a veces un finito grupo. Esto ocurre si el correspondiente grupo simétrico $d$ -forma multilineal $\Phi$ satisface $\Phi(\mathbf x, \ldots, \mathbf x,\mathbf y) = 0$ para todos $\mathbf y$ en $F^n$ sólo cuando $\mathbf x = 0$ . Cuando $d \geq 3$ esta condición es diferente de la no degeneración definida anteriormente. Digamos que tal $f$ et $\Phi$ son nonsingular . Que las formas no singulares de grado $d$ tienen un grupo ortogonal finito sobre $\mathbf C$ se debe a Jordania. También es válida en campos algebraicamente cerrados de característica $p$ cuando $p > d$ (así $d! \not= 0$ en el campo). Como ejemplo, el grupo ortogonal de $x_1^d + \cdots + x_n^d$ en $\mathbf C$ cuando $d \geq 3$ tiene orden $d^n n!$ : sólo contiene las composiciones de $n!$ permutaciones de coordenadas y escalado de cada una de las $n$ coordenadas por $d$ a las raíces de la unidad. Tomando $n = 2$ Esto revela una diferencia básica entre las formas binarias concretas $x^2 + y^2$ et $x^d + y^d$ para $d \geq 3$ que puedas decir a quien te pregunte en el futuro en qué se diferencian las formas de grado superior de las cuadráticas.
En retrospectiva, la etiqueta utilizada para el segundo tema ("Teoría de grupos") se aplica realmente a ambos temas. Para un campo $F$ , el grupo ${\rm GL}_n(F)$ actúa sobre las formas de grado $d$ en $n$ variables con coeficientes en $F$ y el primer tema es sobre la órbita de $x_1^d + \cdots + x_n^d$ bajo esta acción mientras que el segundo tema es sobre el estabilizador de $f(x_1,\ldots,x_n)$ en el marco de esta acción.
En cuanto a los documentos y los libros, sólo mencionaré uno de cada uno. Está el artículo de Harrison "A Grothendieck ring of higher degree forms" en J. Algebra 35 (1978), 123-138 ici y el libro de Manin Formas cúbicas: álgebra, geometría, aritmética . En una entrevista con Eisenbud, Manin mencionó una pesadilla recurrente que tuvo con este libro, poco después de haberlo terminado ici .
Este es un comentario ampliado de KConrad debate de grupos de simetría. Podemos pensar en $k$ -en un espacio vectorial $V$ (polinomios homogéneos de grado $k$ ) de forma abstracta como elementos de la potencia simétrica $S^k(V^{\ast})$ . Si queremos clasificar tales cosas hasta el cambio de coordenadas, o, equivalentemente, si queremos entender los grupos de automorfismo de tales cosas, miramos la acción de $GL(V)$ y en sus órbitas y sus estabilizadores respectivamente.
Esta acción es casi fiel (el núcleo contiene al menos el $k^\text{th}$ raíces de la unidad) por lo que heurísticamente podemos esperar que la órbita genérica tenga dimensión $\max(\dim GL(V), \dim S^k(V^\ast))$ . Ahora bien, si $n = \dim V$ tenemos que
por lo que vemos que sólo es para $k \le 2$ que $\dim S^k(V^{\ast}) \le \dim GL(V)$ en general, y a partir de $k \ge 3$ tenemos $\dim S^k(V^{\ast}) \gg \dim GL(V)$ . Esto sugiere heurísticamente que las órbitas tendrán grandes estabilizadores para $k \le 2$ pero genéricamente tienen estabilizadores finitos para $k \ge 3$ que es lo que aparentemente encontramos. También sugiere que podríamos tener un espacio de órbitas de dimensión cero para $k \le 2$ (que es el caso, por ejemplo, de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ) sino un espacio de dimensiones positivas de órbitas que varían en familias sobre el campo base para $k \ge 3$ . Así que, basándonos sólo en estos recuentos de dimensiones, esperamos que las formas cúbicas y superiores sean mucho más difíciles de clasificar que las cuadráticas y que tengan muchas menos simetrías. Esto es antes de entrar en las dificultades adicionales de resolver, por ejemplo, ecuaciones diofantinas cúbicas y de mayor grado en relación con las cuadráticas.
Ahora un poco de especulación filosófica: estamos trabajando aquí con un espacio vectorial abstracto de dimensiones finitas sobre un campo abstracto pero, por supuesto, nuestros conceptos de campos, espacios vectoriales e incluso formas cuadráticas se basan, en última instancia, en nuestras experiencias directas preconceptuales al movernos en el espacio ~euclidiano, el $3$ -espacio vectorial real de dimensiones $\mathbb{R}^3$ equipado con la forma euclidiana $x^2 + y^2 + z^2$ . Uno se pregunta si todo el concepto de campos y espacios vectoriales tiene de alguna manera la euclididad desde el principio, de tal manera que inevitablemente distingue las formas cuadráticas, y si los seres inteligentes que viven en un mundo sustancialmente menos euclidiano establecerían los fundamentos de las matemáticas de manera muy diferente .
Una leve evidencia en contra de esto es la clasificación de los grupos simples finitos, que parece sugerir que la teoría de Lie, o al menos la teoría de los grupos algebraicos, es en cierto sentido inevitable una vez que se tiene la noción de simetría. Y ahí los grupos ortogonales (junto con los grupos simplécticos, etc.) desempeñan claramente un papel destacado.
Otro aspecto del papel privilegiado de las formas cuadráticas es dualidad . A grandes rasgos, un formulario $f$ de grado $n$ define un mapa diferencial $x\mapsto\xi=df(x)$ . Si $m=2$ entonces $x\mapsto\xi$ es lineal, y existe un criterio sencillo para que sea uno a uno (que el discriminante sea distinto de cero). Si $m>2$ La situación es mucho más compleja.
Sin embargo, permítanme mencionar que $m$ -forma sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C$ juegan un papel importante en la teoría de los operadores diferenciales lineales. La clase de formas hiperbólicas La propuesta de Gårding es especialmente importante.
La forma hiperbólica más importante es el determinante (grado $n$ ) sobre el espacio ${\bf Sym}_n$ de simetría real $n\times n$ matrices. Esta resulta tener un grupo de isotropía muy grande, a saber, las transformaciones $S\mapsto P^TSP$ donde $P\in{\bf SL}_n$ . Este grupo $O(Det)$ es todo menos finito, por lo que este ejemplo es realmente excepcional, desde el punto de vista de Conrad.
Considerando el determinante sobre ${\bf M}_n(k)$ entonces $O(Det)$ es aún más amplio. Contiene las transformaciones $M\mapsto PMQ$ para $P,Q\in{\bf SL}_n(k)$ así como $M\mapsto M^T$ .
Una variante del ejemplo anterior es el Pfaffian, un $m$ -forma sobre el espacio ${\bf Alt}_{2m}(k)$ de la alternativa $(2m)\times(2m)$ matrices. Su grupo isotrópico es de nuevo ${\bf SL}_{2m}(k)$ .
También sobre los racionales (¡como podría haber mencionado @KConrad!), la teoría de las formas cuadráticas es más bonita que la teoría de las formas superiores:
El principio de Hasse es válida para las formas cuadráticas: si una forma cuadrática tiene un cero en los reales y en todas las p-adicas, entonces también tiene un cero racional. En cambio, esto falla incluso para los cúbicos ternarios, como en El ejemplo de Selmer .
Hay cuestiones sencillas sobre la longitud y el área que llevan abiertas más de 300 años y que equivalen a la solubilidad de las formas cuadráticas sobre los racionales, sin que haya nada tan antiguo y geométrico para las formas superiores. Por ejemplo:
¿Existe una ladrillo perfecto de Euler ¿ cuyas longitudes de los lados y las diagonales de las caras y la diagonal principal tienen todas longitudes racionales?
El problema de los números congruentes : ¿Qué números pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen todos longitudes racionales?
Esto es tal vez más un comentario que una respuesta completa, pero incluso las formas cúbicas ternarias no se entienden bien, y los resultados sobre ellas están en la vanguardia de la investigación actual. Véase, por ejemplo Formas cúbicas ternarias con invariantes acotados, y la existencia de una proporción positiva de curvas elípticas con rango 0 por Bhargava y Shankar, o la investigación de números expresables como el suma de tres cubos .
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