Dadas las diagonales de un paralelogramo. Encuentra los lados.

Question

Dado un paralelogramo con $d_1 = AC = 26$ cm, $d_2 = BD = 18$ cm y $\sin \displaystyle \angle AOD = \frac{12}{13}$ .

Encuentre $AB = a$ et $AD = b$ .

Lo que hice para solucionarlo

• Utilizando la fórmula del área

$S = \frac{d_1d_2\sin \displaystyle \Phi}{2} = \frac{26 \times 18 \times 12/13}{2} = 216$

• Utilizando la fórmula de Heron para $\triangle BOC$ para encontrar $b$

Definición de $OC = a = 26 / 2 = 13$ , $OB = b = 18 / 2 = 9$ , $BC = c$

$p = \frac{a + b +c}{2} = \frac{13 + 9 + c}{2} = \frac{22 + c}{2}$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Creo que cuando encuentro $b$ Podré encontrar $a$ también, pero se quedó un poco atascado en ese punto.

Answer 1

Ya has observado que las diagonales se dividen por la mitad en el centro. Sin embargo, lo estás complicando demasiado al utilizar el área.

En su lugar, mira el triángulo $\triangle AOD$ . Ya conoces la longitud de dos lados, $a=9$ et $c=13$ y su ángulo inclinado $\beta=\operatorname{arcsin} \frac{12}{13}\approx 67.38°$ . Con la ayuda del teorema del coseno se obtiene:

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos \beta \\ b = \sqrt{81+169-2\cdot 9 \cdot 13\cdot\cos\left(\operatorname{arcsin} \frac{12}{13}\right)}=4\sqrt{10}\approx 12.65$$

Utilizando $\angle AOB = 90°-\angle AOD$ se puede calcular la longitud de $a$ análogamente dentro del triángulo $\triangle AOB$ .

Answer 2

$\cos AOD =\pm \sqrt{1-\sin^2 AOD}=\pm \sqrt{1-(12/13)^2}=\pm 5/13$ .

Desde $AOD < 90^\circ$ , $\cos AOD = 5/13$

Así que $b^2=AO^2+OD^2-2 AO\cdot OD \cos AOD = 13^2+9^2-2\cdot 13\cdot 9\cdot (5/13)=160$ .

Desde $\sin DOC=\sin(180^\circ-AOD)=\sin AOD=12/13$ también tenemos $\cos DOC=\pm 5/13$ pero esta vez elegimos el signo menos ya que $DOC>90^\circ$ Así que $\cos DOC = -5/13$

Así que $a^2=DO^2+OC^2-2 DO\cdot OC \cos DOC = 9^2+13^2-2\cdot 9\cdot 13\cdot (-5/13)=340$ .