Cualquier condición necesaria y suficiente para $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0$ ?

Question

Estoy buscando cualquier resultado establecido que sea necesario y suficiente para $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=0$ para cualquier secuencia real $\{a_n\} \text{and} \{b_n\}\ne 0$ donde ambas secuencias convergen al mismo límite.

---

¿Puede alguien ayudarme con algunos comentarios o sugerencias?

Answer 1

Los problemas del tipo condiciones necesarias/suficientes a veces pueden parecer difíciles de empezar, pero hay técnicas para abordarlos fácilmente.

Una forma es comenzar con una condición necesaria (respectivamente, una condición suficiente), y mejorar sobre ella hasta que sienta que su condición necesaria se convierte en suficiente (respectivamente, hasta que su condición suficiente se convierta también en necesaria), y luego intente demostrar que de hecho es suficiente (resp. necesaria).

Por ejemplo, como comentó Robin Saunders, si $a_n\to a$ et $b_n\to b$ con $a,b$ no cero y no $\pm\infty$ , entonces la regla del cociente para los límites (ver Wikipedia ) implica que la radio $a_n/b_n$ convergerá a $a/b\neq0$ . Por lo tanto, una primera condición necesaria es la siguiente:

Al menos uno de $a_n$ o $b_n$ converge a $0$ o $\pm\infty$ .

¿Es también suficiente esta condición? Es evidente que no, ya que $a_n=n^2$ et $b_n=n$ son ambos tales que $a_n,b_n\to\infty$ , por lo que se cumple la condición necesaria, sin embargo, $a_n/b_n$ ¡converge a + infinito!

Así que el trabajo no está hecho: tienes que hacer tu condición necesaria más fuerte es decir, descartar otros casos que no van a funcionar. Sin embargo, no estás tan lejos como cuando empezaste, porque ahora sólo tienes que considerar los casos en los que al menos uno de $a_n$ o $b_n$ converge a $0$ o $\pm\infty$ .