¿Por qué la longitud de arco de $\cos x$ igual a $\pm \sin x$ ?

Question

La longitud de arco de alguna función $f(x)$ viene dada por $$L=\int{\sqrt{1+f'\left(x\right)^2}}dx$$ Enchufando $\cos x$ en para $f$ y utilizando el álgebra básica, esto se simplifica como sigue $$L=\int{\sqrt{1+\cos'\left(x\right)^2}}dx$$ $$L=\int{\sqrt{1-\sin\left(x\right)^2}}dx$$ $$L=\int{\sqrt{\cos\left(x\right)^2}}dx$$ $$L=\int{\pm\cos\left(x\right)}dx$$ $$L=\pm\sin x$$ Obviamente, esto está mal. La respuesta real implica integrales elípticas, pero mi pregunta es, ¿por qué este enfoque da un resultado tan incorrecto? ¿Qué estoy pasando por alto?

Answer 1

$$(-\sin x)^2 \ne -(\sin x)^2$$