¿Suma para calcular la distancia con el tiempo?

Question

Tengo un problema de deberes para Calc II que dice algo así:

Una tortuga y una liebre disputan una carrera de 1.500 metros. La liebre recorre 1 m en el primer segundo, (999/1000)m en el segundo, un (999/1000)^2 en el tercer segundo, y (999/1000)^(n-1) en el enésimo segundo. La tortuga recorre 1/10 m en el primer segundo, y (1/(9+n)m en el enésimo segundo. ¿Quién gana la carrera? Entiendo que para calcular la distancia TOTAL recorrida en cualquier segundo, se haría una suma de cualquiera de las secuencias proporcionadas. Para tratar de resolver cuántos segundos le tomaría a la liebre recorrer los 1500m se me ocurrió esto:

1500 = 1(1-(999/1000))^n/(1-(999/1000)

utilizando la fórmula de la suma del enésimo término de una secuencia. Parece que para resolver n tendría que usar logaritmos, ¿hay alguna forma más fácil de hacerlo?

Answer 1

La liebre nunca llega al final de la carrera:

$$\sum_{n\ge 0}\left(\frac{999}{1000}\right)^n=\frac1{1-\frac{999}{1000}}=1000\;.$$

No importa cuánto tiempo siga corriendo, nunca completará el primer kilómetro. La serie asociada de la tortuga, en cambio, es

$$\sum_{n\ge 1}\frac1{9+n}\;,$$

una cola de la serie armónica, por lo que es divergente, y la tortuga acabará la carrera y ganará.