¿Cada conjunto abierto contiene un conjunto denso $F_{\sigma}$ ¿subconjunto?

Question

Dejemos que $U$ sea un conjunto abierto regular en un espacio de Tychonoff $X$ (regular significa que es un interior de un conjunto cerrado).

[ En mi situación específica $U$ es de la forma $\operatorname{int} f^{-1}(0)$ , donde $f$ es una función continua de valor real sobre $X$ y $X$ es un espacio de Baire (una secuencia de conjuntos abiertos densos tiene una intersección densa), pero no estoy seguro de que ayude. ]

¿Existe una secuencia $\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ de cerrado (en $X$ ) subconjuntos de $U$ tal que $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n$ es denso en $U$ ?

Por supuesto, este es el caso si $X$ es perfectamente normal (lo que equivale a que todo conjunto abierto es $F_{\sigma}$ ), o separable, pero espero que una suposición menos restrictiva sea suficiente, por ejemplo, la normalidad.

Answer 1

No en $\beta\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ : si $A$ es un $F_\sigma$ -subconjunto de $\operatorname{int}f^{-1}(0)$ entonces hay incluso un conjunto cerrado $C$ tal que $A\subseteq C\subseteq \operatorname{int}f^{-1}(0)$ . Por supuesto, esto es sólo un ejemplo si el conjunto cero no es clopen pero se puede obtener un ejemplo trabajando en el conjunto contable $N=\mathbb{N}^2$ los conjuntos clopen determinados por las líneas verticales $V_n=\{n\}\times\mathbb{N}$ unión hasta un conjunto cozero: dejemos que $f$ tener valor $2^{-n}$ en $V_n$ . Ese conjunto cozero no es clopen y para todo conjunto cerrado $F$ contenida en $\operatorname{int}f^{-1}(0)$ existe una función $h:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que $F$ está en el conjunto cerrado determinado por $L_h=\{(m,n):n\le h(m)\}$ . Si $A$ es un $F_\sigma$ entonces obtenemos una secuencia $\langle h_n:n\in\omega\rangle$ de dichas funciones. Definir $h(m)=1+\max\{h_n(m):n\le m\}$ . Entonces el conjunto cerrado determinado por $L_h$ contiene $A$ y es un subconjunto de $\operatorname{int}f^{-1}(0)$ .

Consideramos el comportamiento de la extensión de $f$ a $\beta N$ y su restricción a $N^*=\beta N\setminus N$ (todos llamados $f$ ). Lo importante es que si $X$ determina un conjunto cerrado, denominado $X^*$ , en $N^*$ entonces $X^*\subseteq f^{-1}(0)$ si $X\cap V_n$ es finito para todo $n$ . En general $X^*\cap Y^*=\emptyset$ si $X\cap Y$ es finito, y en este caso si $X\cap V_n$ es finito para todo $n$ entonces $f[X^*]=\{0\}$ . Además: $X\cap V_n$ es finito para todo $n$ si $X\subseteq L_h$ para algunos $h$ como en el caso anterior. Finalmente: $N^*$ es compacto y zerodimensional, por lo que si $F$ está cerrado y contenido en $\operatorname{int}f^{-1}(0)$ entonces hay un conjunto cerrado $C$ tal que $F\subseteq C\subseteq \operatorname{int}f^{-1}(0)$ .

Ver esta nota para una breve introducción .