Encuentre todos $z$ para lo cual $z^2+2z+2$ es realmente positivo.

Question

Encuentre todos $z$ para lo cual $z^2+2z+2$ es realmente positivo.

Mi intento : Deja que $z=x+iy, (x,y\in R)$ :

$$z^2+2z+2= (x^2-y^2+2ixy) +2(x+iy)+2$$

$$=(x^2-y^2+2x+2)+i(2xy+2y)$$

Answer 1

Quieres que la parte real sea positiva y la parte imaginaria sea $0$

$$ (x^2-y^2+2x+2)+i(2xy+2y)$$

$$2xy+2y=0 \implies 2y(x+1)=0$$

Así, $y=0$ o $x=-1$

Para $y=0$ obtenemos $x^2+2x+2=(x+1)^2+1 >0$

Para $ x=-1 $ necesitamos $1-y^2>0$ lo que implica $|y|<1$

Por lo tanto, la solución es $ y=0$ o ( $|y|<1$ y $x=-1$ )

Answer 2

Dejemos que $p$ sea un número real.

$$(z+1)^2+1=p^2\iff z=\pm\sqrt{p^2-1}-1.$$

Si $|p|<1$ , $z=\pm i\sqrt{1-p^2}-1$ corre de $-1-i$ a $-1+i$ ,

Si $|p|\ge1$ , $z=\pm\sqrt{p^2-1}-1$ , va desde $-\infty$ a $\infty$ .

Answer 3

Un enfoque ligeramente geométrico:

Si tenemos $p(z) = (z-w)(z-\overline{w})$ , entonces dejemos que $m={1 \over 2} (w+ \overline{w}) = \operatorname{re} w$ y así (con $r \ge 0$ ) \begin{eqnarray} p(m + r e^{i \theta}) &=& (m-w+r e^{i \theta}) (m-\overline{w}+r e^{i \theta}) \\ &=& (-i\operatorname{im} w + r e^{i \theta})(i \operatorname{im} w+r e^{i \theta}) \\ &=& (\operatorname{im} w)^2+ r^2 e^{2 i \theta} \end{eqnarray} Vemos que esto es real si $\theta$ es un múltiplo de ${\pi \over 2}$ .

Si es un múltiplo par, $p(m + r e^{i \theta}) > 0$ para cualquier $r\ge 0$ .

Si un impar múltiple, $p(m + r e^{i \theta}) > 0$ si $0 \le r < |\operatorname{im} w|$ .

En este caso concreto, $w=-1+i$ Así que $m= -1$ , $\operatorname{im} w = 1$ .

Por lo tanto, $p(z) $ es real y positivo si $z \in \mathbb{R} \cup \{ -1+iv | v \in (-1,1)\}$ .