Encuentre todos $z$ para lo cual $z^2+2z+2$ es realmente positivo.

Question

Encuentre todos $z$ para lo cual $z^2+2z+2$ es realmente positivo.

Mi intento : Deja que $z=x+iy, (x,y\in R)$ :

$$z^2+2z+2= (x^2-y^2+2ixy) +2(x+iy)+2$$

$$=(x^2-y^2+2x+2)+i(2xy+2y)$$

Answer 1

Usted quiere $2xy+2y = 2y(x+1)=0$ y $x^2-y^2+2x+2 = (x+1)^2-y^2+1>0$ . De la primera ecuación, $y=0$ o $x=-1$ ; si $y=0$ , usted quiere $(x+1)^2+1>0$ que siempre es verdadera; si $x=-1$ , usted quiere $-y^2+1>0$ lo cual es cierto cuando $|y|<1$ . Así que las soluciones son \begin{equation*} \{x+iy\,|\,y=0\text{ or }(x=-1\text{ and }|y|<1)\}. \end{equation*}

Answer 2

Sus cálculos son correctos. Ahora, un número complejo $a+ib$ (con $a, b\in\Bbb R$ ) es real y positivo si $$a>0\text{ and }b=0$$ Por lo tanto, tiene que encontrar todos los $z$ s.t. $$x^2-y^2+2x+2>0\text{ and }2xy+2y=0$$

Answer 3

¡Ya casi lo tienes! Todo lo que tienes que hacer es resolver las condiciones necesarias para que tu cantidad sea realmente positiva, es decir

$$ x^2 - y^2 + 2x + 2 > 0 \text{ and } 2xy + 2y = 0 $$

Sugerencia: comience con la igualdad y el factor. Deberías obtener dos casos; úsalos para establecer los requisitos dados por la desigualdad.

Answer 4

$z^2+2z+2 = (z+1)^2+1$ .

Así que esto es real (positivo o negativo) si $z+1$ está en $\{ci; c \in \mathbb{R} \} \cup \{c; c \in \mathbb{R} \}$ .

Esto es positivo si $z+1$ está en $\{ci; c \in \mathbb{R}; -1< c < 1 \}$ o si $z+1$ está en $\cup \{c; c \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\}$ .

Así que $z^2+2z+2 = (z+1)^2+1$ es positivo si y sólo si $z$ está en $\{ci-1; -1< c < 1\} \cup \mathbb{R} \setminus \{0\}$

Answer 5

Dejemos que $w:=u+iv:=z+1$ . Entonces $w^2+1$ es real cuando $w$ es real o puramente imaginario.

• $u^2>-1$ siempre es cierto,

• $(iv)^2>-1\iff |v|<1$ .

Las soluciones son $w-1$ .