Dejemos que $H$ sea un campo CM y $F$ sea el máximo subcampo totalmente real de $H$ . ¿Podemos construir un Katz $p$ -de caracteres de Hecke sin la condición ordinaria (es decir, cada primo de $F$ por encima de $p$ se divide en $M$ )?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se espera que una función L p-ádica dependa de (al menos) dos datos: una familia $V$ de representaciones de $G_{\mathbf{Q}}$ sobre algún espacio base $X$ (que debería ser un esquema formal p-ádico o un espacio rígido); y una familia de subespacios $V^+$ de $V$ estable bajo $G_{\mathbf{Q}_p}$ (un "p-refinamiento" o "p-estabilización"). (En realidad, basta con tener un submódulo del anillo Robba $(\varphi, \Gamma)$ -módulo de $V$ en $p$ en lugar de $V$ sí mismo, y también hay una opción de periodos que estoy barriendo bajo la alfombra, pero permítanme ignorarlos por ahora).
La pareja $(V, V^+)$ son necesarios para satisfacer las "condiciones Panchishkin":
- $rk(V^+) = rk(V^{c = -1})$ donde $c$ es la conjugación compleja;
- existe un conjunto de puntos densos de Zariski $\Sigma \subset X(\mathbf{C}_p)$ tal que $V$ es de Rham en $p$ , $(V^+)_x$ tiene todos sus pesos Hodge--Tate $\ge 1$ y $(V/V^+)_x$ tiene todos sus pesos Hodge--Tate $\le 0$ .
Entonces uno espera adjuntar a $(V, V^+)$ una p-ádica $L$ -función más $X$ cuyo valor en un "punto Panchishkin" $x \in \Sigma$ es el valor L en 0 de un motivo cuyo $p$ -la realización de la vida cotidiana es $V_x$ -- se trata de un valor crítico, debido a la condición de los pesos de Hodge--Tate -- modificado por factores locales apropiados en función de la $L$ y $\varepsilon$ factores de $V^+$ en $p$ .
Ahora, en tu caso estás tomando $X$ para ser el espacio de caracteres del grupo de clases de rayos de $H$ modulo $p^\infty$ y $V$ para ser el rep inducido de $H$ hasta $\mathbf{Q}$ de la familia natural de 1 dimensión sobre $X$ . Entonces, ¿cuáles son las subrepresentaciones $V^+$ que uno puede tomar? Los subrepticios de $V$ corresponden precisamente a subconjuntos de los primos de $V$ por encima de $p$ y hay que elegir un conjunto donde la suma de los grados locales sea $\tfrac{1}{2}[H : \mathbf{Q}]$ .
Pero, ¿cuáles serán los puntos $\Sigma$ ¿ser? Esta es la parte complicada. Si $\psi$ es un carácter Groessencharacter de $H$ entonces $\psi \psi^*$ será un factor a través de $F$ y como $F$ es totalmente real, esto obliga a $\psi \psi^*$ tener en paralelo de tipo infinito (es decir $\psi\psi^*$ es un carácter de orden finito por una potencia de la norma). No es muy difícil ver a partir de esto que si el conjunto de primos que elegiste no es disjunto de su imagen bajo conjugación compleja, entonces el conjunto de puntos de $X$ ¡en la que se cumple la condición de Panchishkin está realmente vacía!
Así que si crees en un determinado conjunto de prescripciones sobre lo que $p$ -adic $L$ -entonces se puede descartar la existencia de una versión de la función L de Katz cuando no se cumple la condición de ordinariedad de Katz. Por supuesto, podría haber nociones más generales de " $p$ -adic $L$ -función" que no se descartan con esto; pero espero que al menos sirva para explicar para qué sirve esta suposición.
