A pesar de que $\forall n, n^3 + 2n \equiv 0 \pmod 3$ Entiendo que $n^3 + 2n$ (considerado como un polinomio con coeficientes en $\mathbb Z/3\mathbb Z$ ) es no igual al polinomio cero.
¿Cuál es el valor de definir los polinomios de esta (extraña) manera? ¿En qué situaciones simplifica las cosas?
Lo pregunto porque me parecía natural definir los polinomios como un subconjunto de funciones, así que me sorprendió esto.
Los algebristas emplean formal (vs. funcional ) porque así se consigue la mayor generalidad. Una vez que se demuestra una identidad en un anillo de polinomios $\rm\ R[x,y,z]\ $ entonces seguirá siendo cierto para todas las especializaciones de $\rm\,x,y,z\,$ en cualquier anillo en el que los coeficientes puedan ser interpretados (conmutativamente), es decir, cualquier anillo que contenga una imagen central de $\rm\,R,\,$ es decir, cualquier $\rm\,R$ -Álgebra. Así podemos demostrar de una vez por todas identidades importantes como el Teorema del Binomio, la regla de Cramer, la fórmula de Vieta, etc. y posteriormente especializar las indeterminaciones según sea necesario para aplicaciones en anillos específicos. Esto nos permite interpretar tales identidades polinómicas en la forma más universal manera teórica del anillo - en la mayor generalidad.
Por ejemplo, cuando resolvemos recurrencias sobre un campo finito $\rm\,\mathbb F = \mathbb F_p\,$ es útil emplear el "álgebra de operadores", trabajando con polinomios característicos sobre $\rm\,\mathbb F,\,$ es decir, elementos del anillo $\rm\,\mathbb F_p[S]\,$ donde $\rm\,S\,$ es el operador de desplazamiento $\rm\ S\ f(n)\, =\, f(n+1).\,$ Estos son no polinomio funciones en $\rm\,\mathbb F_p,\,$ Por ejemplo, en general $\rm\ S^p \ne S\ $ ya que generalmente $\rm\ f(n+p) \ne f(n+1).\,$ Pero cualquier identidad polinómica de $\rm\,\mathbb F[x]\,$ se especializa en esta álgebra de operadores mediante el mapa de evaluación $\rm\,x\mapsto \,S,\,$ por ejemplo, podemos especializar las identidades universales de factorización de polinomios para factorizar el polinomio característico, por ejemplo, la diferencia de cuadrados $\rm\ x^2\! - y^2 = (x\!-\!y)\ (x\!+\!y)\,$ $\,\Rightarrow\,$ $\rm\,S^2\!-\! c^2 = (S\!-\!c)\ (S\!+\! c)\ $ a través de $\rm\,x,y\mapsto S,c,\:$ y podemos especializar las factorizaciones polinómicas ciclotómicas, etc. Esto no sería posible si en su lugar empleáramos el mucho menos general anillo de polinomios funciones en $\rm\,\mathbb F,\,$ ya que sus especializaciones de $\rm\,x\,$ debe satisfacer $\rm\, x^p = x.\,$ De forma similar podemos factorizar los operadores diferenciales (con coeficientes constantes, por conmutatividad)
Un ejemplo sencillo pero llamativo del poder de la universalidad de los polinomios es este prueba de folclore deslizante de la identidad determinante de Sylvester. Emplea matrices "genéricas" (es decir, con entradas indeterminadas) y explota al máximo el hecho de que el determinante tiene forma polinómica. Por lo tanto, para demostrar $\rm\ det\ (I+AB)=det\ (I+BA)\ $ la prueba procede simplemente cancelando $\rm\ det\ A\ $ de la $\rm\ det\ $ de $\rm\ (1+AB)A = A(1+B A).\, $ Porque $\rm\,det\,A\,$ es un no cero polinomio en el dominio $\rm\,\mathbb Z[a_{\large\, ij},b_{\large\, ij}],\, $ es cancelable. Al anularlo universalmente es decir, como polinomio formal en un dominio (frente a la posterioridad como número, posiblemente $0$ después de evaluar las entradas de la matriz indeterminada) eliminamos la "aparente singularidad" cuando $\rm\ det\ A = 0.\,$ Véase también el debate aquí.
Mucha gente tiene problemas para entender por qué esta prueba no divide por cero. El problema parece provenir de una aparente dificultad para olvidar la visión analítica de un determinante como un polinomio función por lo que se puede considerar de forma más general como formal polinomio en las entradas de la matriz. Parece que el sesgo analítico es tan fuerte que a algunas personas les resulta difícil cambiar al punto de vista algebraico formal. Me sorprendió observar que incluso algunas personas que han realizado cursos de álgebra de posgrado tenían grandes dificultades para creer en la validez de una prueba algebraica formal de este tipo, pensando en cambio que hay que recurrir a argumentos alternativos que emplean nociones topológicas (densidad). De forma análoga, se pueden encontrar artículos (más antiguos) publicados por distinguidos matemáticos que discuten la validez de las pruebas que utilizan series de potencias formales (G. C. Rota a menudo bromeaba sobre ello).
Para dominar el álgebra abstracta es crucial desarrollar un poderoso sentido de la abstracción. Esto permite aprovechar muchas analogías poderosas, por ejemplo, ver las "funciones" como "números" o viceversa. De hecho, la interacción entre los campos de números y los campos de funciones es la fuente de muchas ideas fructíferas en el álgebra y la teoría de números.
$p(x) = x^3 + 2x$ puede dar la función cero en el campo finito $\mathbb{F}_3$ pero lo hace no dan la función cero en su extensiones de campo como por ejemplo $\mathbb{F}_9$ . Un polinomio con coeficientes en un campo $F$ realmente da una función bien definida sobre cualquier extensión de $F$ y en esta generalidad es cierto que polinomios distintos dan funciones distintas.
Sin embargo, esta no es realmente la razón. En mi opinión, la razón principal es que los polinomios satisfacen una propiedad universal para un anillo conmutativo $R$ el anillo $R[x_1, ... x_n]$ es el libre $R$ -álgebra en $n$ generadores. En otras palabras, si $S$ es cualquier otro $R$ -entonces existe una biyección natural entre el conjunto $$\text{Hom}_R(R[x_1, ... x_n], S)$$
de $R$ -homomorfismos de álgebra $R[x_1, ... x_n] \to S$ y el conjunto $$S^n$$ de $n$ -tuplas de elementos de $S$ . Esta propiedad universal falla si se sustituye el anillo de polinomios por cualquier cociente del mismo, ya que los valores de $x_1, ... x_n$ se verán limitados por cualquier relación adicional.
Descargo de responsabilidad: no soy algebrista, así que no tengo una perspectiva "profesional" al respecto.
Supongamos (1) que usted es sólo de los polinomios como funciones, y (2) estás sólo se ocupa de las situaciones en las que la correspondencia entre las listas de coeficientes y las funciones es uno a uno. Para ser más específicos, digamos que sólo nos interesan los polinomios con coeficientes reales, como funciones sobre $\mathbb{R}$ .
[Esta es una gran restricción, ya que los algebristas son no sólo se refiere a los polinomios como funciones, y como muestra su ejemplo, hay son situaciones en las que la correspondencia no es unívoca. Y para bien o para mal, las definiciones de los objetos algebraicos que se dan en la universidad tienden a reflejar las necesidades de los futuros algebristas, no del público matemático en general. Pero ignoremos esto].
Dada su perspectiva (1) y (2), al definir un polinomio, tiene al menos dos opciones:
Uno, definir un polinomio como un cierto tipo de función. En resumen, "Un polinomio es una función de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ cuya regla puede expresarse de una forma determinada". Con más detalle, se podría decir que "un polinomio es una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con la propiedad de que existe un entero no negativo $n$ y una lista de números reales $c_0, \dots, c_n$ con la propiedad de que $f(x) = \sum_{j=0}^n c_j x^j$ es válida para todos los reales $x$ ."
Dos, especializar la definición del algebrista al caso de $\mathbb{R}$ . (Defina un polinomio "formalmente", señale cómo un polinomio formal induce una función, y luego defina "función polinómica" a partir de eso).
Aceptando (1) y (2), ambas definiciones son perfectamente válidas. La primera, en particular, se da en todos los libros de nivel de bachillerato, y en todos los libros de cálculo de nivel universitario, que he visto.
El segundo tiene inconvenientes obvios -si sólo te importan los polinomios como funciones- porque lo que un polinomio "es" se ha divorciado de su función correspondiente. Hay que demostrar, por ejemplo, que si dos polinomios inducen la misma función, son el mismo polinomio. ¿Por qué molestarse?
Teniendo en cuenta (1) y (2), este es un punto válido y no puedo argumentar en contra. Pero puedo argumentar que la primera definición también tiene inconvenientes. En la medida en que parece más fácil o más "natural", yo diría que es porque generalmente lo conocemos primero, y por lo tanto tenemos mucho más tiempo para acostumbrarnos a él. (Si alguna vez enseñas álgebra de nivel inicial, estarás curado de espanto por la idea de que cualquier definición de polinomio es "natural" para la mayoría de la gente).
Considere la noción de grado de un polinomio, que espero que estés de acuerdo en que es una noción útil. ¿Cómo definir el grado? Bueno, si $f$ viene dada por una fórmula $f(x) = \sum_{j=0}^n c_j x^j$ y $c_n$ es distinto de cero, entonces es este número $n$ que aparece en la fórmula.
... pero es por qué ¿está bien definido? ¿Cómo sabemos que $f(x)$ no puede estar dada por dos expresiones diferentes, $\sum_{j=0}^n c_j x^j$ y $\sum_{k=0}^m d_k x^k$ con $c_n \neq 0$ y $d_m \neq 0$ y $n \neq m$ ? Podemos evitarlo al menos de dos maneras:
Podemos decir que el grado de $f$ es el mínimo posible valor de $n$ sobre todas las fórmulas concebibles $x \mapsto \sum_{j=0}^n c_j x^j$ que podría representar la regla de la función $f$ . Esto hace que el definición del grado muy fácil, pero no hace que los grados sean fáciles de calcular. (Por esta definición, sabemos que $x^5 + 3x + 1$ ciertamente tiene un grado bien definido, y que es como máximo $5$ . Pero saber que es igual a $5$ necesitamos saber que ninguna expresión $\sum_{j=0}^4 c_j x^j$ puede dar lugar a la misma función. ¿Cómo lo sabemos?) Esto alimenta la segunda forma de definir el grado:
Podemos demostrar que si la regla de $f$ puede venir dada por una fórmula $\sum_{j=0}^n c_j x^j$ con $c_n$ no es cero, entonces $n$ está determinada de forma única, por lo que tiene sentido decir que el grado de $f$ es que valor de $n$ .
Aunque no te importe el título, te encontrarás con este problema. A grandes rasgos, siempre que quieras concluir que dos polinomios no son iguales porque no tienen la misma lista de coeficientes --- y no por exhibiendo explícitamente un valor de $x$ para los que no evalúan lo mismo te encuentras con este tecnicismo.
No quiero decir que sea un tema especialmente arduo de tratar. Es posible dar pruebas breves de que el grado está bien definido. Lo que quiero decir es que requiere una prueba . Los libros de texto de la escuela secundaria (y los libros de cálculo de nivel universitario) suelen eludir este problema mediante ignorando el hecho de que requiere una prueba. Muchas cosas se vuelven más "naturales" si las tratas de esta manera.
No digo que todos debamos estar "a favor" de la segunda definición o "en contra" de la primera. Pero yo diría que, independientemente de cómo se aborden los problemas reales de la definición de los polinomios, incluso para las funciones polinómicas $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ En el caso de los sistemas de gestión de la información, se trata de la distinción entre "lista de coeficientes" y "función", tanto si se quiere como si no. No es algo que se evite con la primera definición de "polinomio" y se introduzca arbitrariamente con la segunda. Siempre está ahí. Así que no es un misterio que algunas personas prefieran incorporarlo a la definición. De todos modos, así es como yo lo veo.
Me asombra que alguien (concretamente, @Qiaochu Yuan) se haya acordado de las extensiones de campo, pero nadie ha mencionado que las extensiones de campo confiar en sobre polinomios irreducibles, definidos en el sentido comentado. En concreto, el anillo cociente $k[x]/\langle P(x)\rangle$ , donde $P$ es irreducible, es un campo y da una extensión de $k$ no trivial si $\deg P > 1$ .
Cuántos funciones hay de ${\mathbb F}_p$ a ${\mathbb F}_p$ ? (" ${\mathbb F}_p$ " es lo que el cartel original denotaría por ${\mathbb Z}/p{\mathbb Z}$ para un primer $p$ .) Hay $p^p$ . No se puede esperar construir a partir del anillo de funciones, en sólo dos operaciones, cualquier campo ${\mathbb F}_{p^m}$ donde $m>p$ .
¿Qué es la cardinalidad de ${\mathbb F}_p[x]$ ? En otras palabras, ¿cuántos polinomios con coeficientes de ${\mathbb F}_p$ ¿Existe? Contablemente infinito. Y para cada natural $m$ existe tal polinomio irreducible $P$ (de grado $m$ ) que ${\mathbb F}_p[x]/\langle P(x)\rangle ≃ {\mathbb F}_{p^m}$ . De hecho, cualquier polinomio irreducible $P$ de grado $m$ es factible; es su existencia que es crucial.
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