Problema de valor inicial de primer orden

Question

Consideremos este problema de valor inicial de primer orden:

$$\begin{cases} y'=1-x+y^2-xy^2\\ y(0)=1 \end{cases}$$

He intentado simplificar el lado derecho a $(y^2+1)(-x+1)$ y luego integrarlo.

He obtenido una solución general como función tangente pero parece que no es la respuesta.

Answer 1

Su solución general es correcta. $$y = \tan\left(x-\dfrac{x^2}2+c\right)$$ Satisfaciendo $(0,1)$ obtenemos, $$1=\tan c\implies c=n\pi+\dfrac\pi4\\ \implies y=\tan\left(x-\dfrac{x^2}2+n\pi+\dfrac\pi4\right)\\ =\tan\left(x-\dfrac{x^2}2+\dfrac\pi4\right)$$ Para comprobarlo, diferenciamos ambos lados, $$\implies y' = \sec^2\left(x-\dfrac{x^2}2+\dfrac\pi4\right)(1-x)$$ (por regla de la cadena) $$\implies y' = \left(1+\tan^2\left(x-\dfrac{x^2}2+\dfrac\pi4\right)\right)(1-x)\\ =(1+y^2)(1-x)$$ que es la ecuación diferencial original deseada.