Un subespacio propio $W$ de $\mathbb{R^n}$ ¿está cerrado?

Question

Dejemos que $W$ sea un subespacio propio de $\mathbb{R^n}$ equipado con la métrica euclidiana $d$ definido por $d(x,y)= (\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2)^{1/2}$ . Sea $W$ sea un subespacio propio de $\mathbb{R^n}$ . ¿Entonces está cerrado?

Intento: Desde $W$ es un subespacio propio de $\mathbb{R^n} \implies \dim(W) \leq n-1$ . Ahora bien, si $\dim(W)= 0$ entonces claramente $W$ es cerrado por lo que dejamos que $\dim(W) = k$ , donde $1\leq k\leq n-1$ . Así que $W \cong \mathbb{R^k}$ y como $\mathbb{R^k}$ es completa bajo la mencionada métrica, podemos ver que cualquier secuencia en $\mathbb{R^k}$ converge a un punto en $\mathbb{R^k}$ para que podamos pensar en $W$ como $\mathbb{R^k}$ así que $W$ está cerrado.

¿Es correcto mi planteamiento? y si me equivoco, dame pistas.

Answer 1

Lo que has hecho es correcto, pero creo que es más natural hacerlo así. Dejemos que $\{e_1,\ldots,e_k\}$ sea una base de $W$ y extenderlo a una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ de $\Bbb R^n$ . Consideremos el mapa lineal $F\colon\Bbb R^n\longrightarrow\Bbb R^{n-k}$ tal que $F(e_{k+1})=(1,0,0,\ldots,0)$ , $F(e_{k+2})=(0,1,0,\ldots,0)$ y así sucesivamente ; además, $F(w)=0$ para cada $w\in W$ . Entonces $W=F^{-1}(\{0\})$ y por lo tanto, ya que $F$ es continua y $\{0\}$ está cerrado, $W$ está cerrado.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de José. Dos comentarios adicionales:

• En realidad no necesitas $W$ para ser un subespacio propio: esto también funciona si $W = \mathbb{R}^n$ ,
• Tenga en cuenta que las palabras completa y cerrado se utilizan de forma diferente: el espacio vectorial $W$ puede llamarse completa pero no podemos llamar a $W$ cerrado a menos que lo veamos realmente como un subespacio de $\mathbb{R}^n$ . (Lo digo porque tu última frase parece indicar que piensas en la cerrazón como una propiedad de un espacio y no como una propiedad de un subespacio).