¿Debemos utilizar la inducción para demostrar una afirmación para todos los enteros

Question

Esta pregunta viene motivada por un comentario de Bill Dubuque en su respuesta a este pregunta sobre la demostración de una suma particular sin utilizar la inducción matemática.

De la respuesta de Bill:

Una prueba de que un enunciado es verdadero para todos los números enteros debe -en algún momento- emplear la inducción matemática. El uso de la inducción puede no ser obvio - puede estar oculto (muy) abajo en la cadena de inferencia en algún otro teorema o lema invocado, como en dicho teorema de unicidad para las recurrencias (ecuaciones de diferencia).

Mi pregunta es: ¿es esto siempre cierto? (No tengo ninguna razón en particular para dudar de su veracidad, pero tengo curiosidad por saber si es siempre verdadero). Y si es así, ¿por qué es ésta la única estrategia defendible para demostrar una afirmación sobre todos los números enteros? Si no es así, ¿cuáles son las estrategias alternativas?

Parece que tenemos que demostrar cosas para todos los números enteros con cierta frecuencia (en algunas áreas de las matemáticas), así que darse cuenta de que cada una de estas pruebas se basará de alguna manera en la inducción reduce el espacio de búsqueda de una prueba de manera sustancial. Me gustaría saber qué fuerza tiene esta afirmación.

Answer 1

Perdonen la sutileza y vaguedad de mi respuesta, pero permítanme que me aparte un poco y diga que hay dos tipos diferentes de conocimiento, que son a priori y "empírico .

Para ser breve, a priori conocimiento es analítico y no requiere experiencia previa, y empírico El conocimiento, en términos sencillos, es el que se construye a partir de conocimientos/experiencias anteriores.

Después de sentar las bases, es decir, de enunciar los axiomas, las matemáticas pueden considerarse como a priori conocimiento. Podemos construir teoremas y pruebas en la parte superior de cada uno y el conocimiento entonces puede ser pensado como empírico (subiendo en la "cadena de inferencia"). Sabemos que la inducción se utiliza en la parte inferior de la cadena, donde se encuentran nuestros bloques de construcción, por lo que cualquier prueba que hagamos a partir de ahí debería basarse en la inducción en algún punto.