Demostrar que si la suma de la primera $n$ también es un primo, entonces también es una hipotenusa de un triángulo pitagórico primitivo

Question

He comprobado esto para todos los triples pitagóricos primitivos $<300$ .

Algunos ejemplos serían: a. $2+3=5$ , b. $2+3+5+7=17$ , c. $2+3+5+7+11+13=41$ , d. $2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37=197$

Cualquier prueba y visión amable será apreciada, gracias.

Answer 1

Esto es falso. La fórmula de Euclides muestra que un número es la hipotenusa de un triple pitagórico primitivo si y sólo si se puede escribir como la suma de dos cuadrados. Fermat demostró que un primo impar puede escribirse como la suma de dos cuadrados si y sólo si es $1 \pmod 4$ . Pero la suma de la primera $60$ primos es $7699$ , que es un primo que es $3 \pmod 4$ . (Este es el contraejemplo más pequeño; véase A013918 para una lista de sumas de primos que son primos).

Answer 2

La fórmula estándar para generar todos los triples pitagóricos primitivos es

a=m^2-k^2, b=2km, c=k^2+m^2; c^2=a^2+b^2

donde k,m son números enteros con k en (0,m), gcd(k,m)=1, y o bien 2 dividiendo a k o bien 2 dividiendo a m, pero no ambos. Por lo tanto, demuestre que su número x, que es la suma de los primeros n primos y el propio primo, puede escribirse en la forma de c, y que existen números (constrúyalos) de la forma a y b sujetos a esas restricciones. Sería más fácil hacer primero un par de ejemplos para tener una noción del flujo de la prueba. Finalmente, utiliza la inducción sobre n.