¿Por qué no puede el $\text{Im}(\varphi)\subset \mathbb{C}$ ¿es un campo?

Question

Dejemos que $\varphi : \mathbb{Z}[x,y] \to \mathbb{C}$ sea un homomorfismo de anillo. Entonces $\ker{\varphi}\subset \mathbb{Z}[x,y]$ es primo.

Supongo que $\mathbb{Z}[x,y]$ ¿un anillo?

El argumento que tengo es que $\mathbb{Z}[x,y]/\ker{\varphi}$ es un dominio integral. Estoy revisando mis notas y veo que he escrito eso para $\operatorname{Im}(\varphi)\subset \mathbb{C}$ no podemos decir que la imagen es un campo porque $\mathbb{C}$ no es un campo finito. Estoy confundido porque pensaba que cualquier subconjunto "estructurado" de $\mathbb{C}$ podría ser un subcampo.

Answer 1

La cuestión es que si la imagen es un campo, entonces contiene un campo finito o $\mathbb Q$ . Si contiene un campo finito entonces no puede ser un subcampo de $\mathbb C$ porque tienen características diferentes, así que esa es una posibilidad descartada. Si contiene $\mathbb Q$ entonces también se obtiene una contradicción, porque ningún campo que contenga $\mathbb Q$ es una entidad finitamente generada $\mathbb{Z}$ -álgebra, pero $\mathbb{Z}[x,y]/\operatorname{ker}\varphi$ (que es isomorfo a $\operatorname{im}\varphi$ por uno de los teoremas de isomorfismo) es un $\mathbb{Z}$ -álgebra por definición.

Una referencia para este último hecho es Campos generados finitamente como $\mathbb Z$ -¿las álgebras son finitas?