Buenos ejercicios para hacer/ejemplos para ilustrar el Teorema de Seifert - Van Kampen

Question

Acabo de conocer el teorema de Seifert-Van Kampen y me cuesta entenderlo. La versión de este teorema que conozco es la siguiente (dada en Hatcher):

Si $X$ es la unión de los conjuntos abiertos conectados por el camino $A_\alpha$ cada uno de los cuales contiene el punto base $x_0 \in X$ y si cada intersección $A_\alpha \cap A_\beta$ es un camino conectado, entonces el homomorfismo $$\Phi:\ast_\alpha \pi_1(A_\alpha) \to \pi_1(X)$$ es sobreyectiva. Si además cada intersección triple $A_\alpha \cap A_\beta \cap A_\gamma$ está conectada por un camino, entonces $\ker \Phi$ es el subgrupo normal $N$ generado por todos los elementos de la forma $i_{\alpha\beta}(\omega)i_{\beta\alpha}(\omega^{-1})$ y así $\Phi$ induce un isomorfismo $$\pi_1(X) \cong \ast_\alpha \pi_1(A_\alpha)/N.$$

$i_{\alpha\beta}$ es el homomorfismo $\pi_1(A_\alpha \cap A_\beta) \to \pi_1(A_\alpha)$ inducido a partir de la inclusión $A_\alpha \cap A_\beta \hookrightarrow A_\alpha$ y $\omega$ es un elemento de $\pi_1(A_\alpha \cap A_\beta)$ .

Ahora he intentado entender este teorema tratando de comprender el ejemplo de Hatcher sobre el cálculo del grupo fundamental de una suma de cuñas. Supongamos por el momento que miramos $X = X_1 \vee X_2$ . No puedo aplicar el teorema a ciegas porque $X_i$ no está abierto en $X$ . Así que tenemos que mirar

$$A_1 = X_1 \vee W_2, \hspace{3mm} A_2 = X_2 \vee W_1$$

donde $W_i$ es una vecindad en torno al punto base $x_1$ de $X_1$ que la deformación se retrae en $\{x_1\}$ de forma similar para $W_2$ . Creo que cada uno de ellos está abierto en $X_1 \vee X_2$ porque cada $A_i$ es la unión de clases de equivalencia que es abierta en $X_1 \sqcup X_2$ . Ahora bien, ¿cómo puedo ver rigurosamente que $A_1 \cap A_2$ la deformación se retrae sobre el punto $p_0$ (que obtuve al identificar $x_1 \sim x_2$ ) en $X$ ? Si puedo ver eso, entonces sé por la Proposición 1.17 (Hatcher) que

$$\pi_1(A_1 \cap A_2) \cong \pi_1(p_0) \cong 0$$

de lo que se deduce que $N= 0$ y el Teorema de Seifert-Van Kampen me dice que

$$\pi_1(X_1\vee X_2) \cong \pi_1(X_1) \ast \pi_1(X_2).$$

1) ¿Es correcto lo que he entendido?

2) ¿Qué otros ejercicios/ejemplos/aplicaciones útiles hay para ilustrar el poder del Teorema de Seifert-Van Kampen? También he visto que se puede utilizar para demostrar que $\pi_1(S^n) = 0$ para $n \geq 2$ .

He echado un vistazo a la sección de ejemplos de Hatcher después de la demostración del teorema, pero desgraciadamente no saco mucho en claro. El único ejemplo que más o menos conseguí fue el cálculo de $\pi_1(\Bbb{R}^3 - S^1)$ .

Me gustaría mucho ver otros ejemplos para ilustrar este teorema. En particular, he oído que se puede utilizar para calcular las presentaciones de grupo para el grupo fundamental - sería bueno si pudiera ver ejemplos como ese.

Gracias.

Editar: ¿Hay alguna manera de demostrar rigurosamente que $A_1 \cap A_2$ la deformación se retrae sobre el punto $\{p_0\}$ ?

Answer 1

Utilizamos el Teorema de Seifert Van-Kampen para calcular el grupo fundamental de un grafo conectado. Este es el problema 1.2.5 de Hatcher:

Es un hecho en la teoría de grafos que cualquier grafo conectado $X$ contiene un árbol máximo $M$ , es decir, un grafo contraíble que contiene todos los vértices de $X$ . Ahora bien, si el árbol máximo $M = X$ entonces hemos terminado porque para cualquier $x_0 \in M$ , $\pi_1(M,x_0) = \pi_1(X,x_0) = 0$ que es trivialmente libre. Ahora supongamos $M \neq X$ . Entonces hay una arista $e_i$ de $X$ no en $M$ . Obsérvese que para cada arista $e_i$ tenemos un bucle en marcha en $M \cup e_i$ sobre algún punto $x_0 \in M$ . Ahora fija el punto base $x_0$ para estar en $M$ y supongamos que las aristas que no están en $M$ son $e_1,\ldots,e_n$ . Entonces está claro que $$X = \bigcup_{i=1}^n \left(M \cup e_i\right).$$

La intersección de dos puntos cualesquiera $M \cup e_i$ y $M \cup e_j$ contiene al menos $M$ y es camino conectado, así que es la triple intersección de 3 de estos tipos cualesquiera por la suposición de que $X$ es un gráfico conectado. Por lo tanto, para cualquier $x_0 \in M$ el teorema de Seifert-Van Kampen nos dice ahora que

$$\pi_1(X,x_0) \cong \pi_1(M \cup e_1,x_0) \ast \ldots \ast \pi_1(M \cup e_n,x_0)/N$$

donde $N$ es el subgrupo generado por palabras de la forma $l_{ij}(w)l_{ji}(w)^{-1}$ , donde $l_{ij}$ es el mapa de inclusión de $\pi_1((M\cup e_i) \cap (M \cup e_j),x_0) = \pi_1(M \cup (e_i \cap e_j),x_0)$ . Ahora observe que si $i \neq j$ entonces $M \cup (e_i \cap e_j) = M$ y como $\pi_1(M,x_0) = 0$ concluimos que cualquier bucle $w \in \pi_1(M \cup (e_i \cap e_j),x_0)$ aquí es trivial. Si $i = j$ , $l_{ij}$ es sólo la identidad, por lo que nuestros generadores para $N$ son sólo

$$l_{ij}(w)l_{ji}(w)^{-1} = ww^{-1} = 1$$

completando nuestra afirmación de que $N$ era trivial. Ahora, para cada $i$ tenemos que $\pi_1(M\cup e_i,x_0)$ se genera mediante un bucle que comienza en $x_0$ y rodea la región complementaria acotada formada por $M$ y $e_i$ y de vuelta a $x_0$ a través del árbol máximo. Este camino de vuelta a $M$ no pasa por ningún otro borde $e_j$ para $j$ diferente de $i$ . De ello se desprende que $\pi_1(X,x_0)$ es un grupo libre con elementos de base consistentes en bucles sobre $x_0 \in M$ como se describe en la línea anterior.

Answer 2

Como resulta que conozco bastante bien el capítulo correspondiente de la monografía de Hatcher, las respuestas para tus dos preguntas son:

1) Según tengo entendido, $A_1 \cap A_2$ es sólo $W_1 \vee W_2$ y el requisito es el de poder "pegar" dos deformación se retrae; sin embargo, éstas pueden ser incompatibles (si son arbitrarias). Sin embargo, Hatcher sólo se preocupa por las sumas de cuñas de esferas (o de variedades) si aplica este ejemplo; el hecho de que los pares de retracciones compatibles sí existe es suficiente en este caso.

2) Hatcher trata de motivar el teorema dando algunos ejemplos con "sabor" geométrico, en los que los repliegues de deformación reales son, de hecho, difíciles de escribir (o incluso de visualizar, como en "Linking Circles"). Esta es sólo una peculiaridad de su escritura, que la hace difícil a primera vista. No es usted el primero en quejarse de su estilo, y sin embargo esta obra es cualquier cosa menos una "lectura ligera" (sobre todo en lo más profundo).

Se podría leer al principio los teoremas reales: dados como una "proposición", 1.26 es computacionalmente el principal resultado de la sección, ayudando a hacer lo que se pidió (computar una presentación de grupo), y también sugiriendo cómo abordar la construcción de $K(G, 1)$ espacios.

Una vez más, puede reconsiderar el enunciado de la versión elemental (sólo dos componentes conectados al camino) en términos del producto libre "amalgamado". Al menos personalmente, viendo la construcción como una solución a un problema de mapeo universal (pushouts en Grupo son exactamente eso) me ayudó a aclarar algunas confusiones en el preámbulo de la exposición de Hatcher sobre el SVK.

Añadido para responder al título del tema, sección 1.2 del libro está lleno de ejemplos y aplicaciones de este tipo (después de la demostración real), y los ejercicios del final no son triviales.

Answer 3

Una versión más potente del teorema es en términos de grupúsculos utilizando la noción de grupúsculo fundamental $\pi_1(X,A)$ en un set $A$ de puntos base. Esta teoría se explica en el libro "Topología y Groupoides" anunciado aquí . Por ejemplo, para captar el grupo fundamental del círculo a partir del teorema se necesitan dos puntos base. Dado que el círculo es EL ejemplo básico en topología algebraica, es un poco anómalo dar un teorema que no calcule este ejemplo. Así se consiguen teoremas más potentes sin apenas complicación en las pruebas, lo que me pareció una buena idea en los años 60, cuando se publicó la primera edición de este libro. Una reseña de la MAA sobre el libro aquí .

La versión más general del teorema también se utiliza en el libro para dar una prueba del Teorema de la Curva de Jordan, a través de una bonita propiedad llamada Propiedad de Phragmen-Brouwer: el círculo no tiene esta propiedad. (Añadido más tarde: Tomemos dos puntos distintos $d,e$ en el círculo $C$ Entonces $C \backslash \{d\}, C \backslash \{e\}$ están conectadas, pero $C \backslash (\{d\} \cup \{e\})$ no está conectado. La propiedad general implica subespacios cerrados disjuntos $D,E$ .)

El enfoque de los groupoides también tiene ventajas al considerar los espacios de cobertura y los espacios de órbita.

@user38268: Edición 2013: Sólo me gustaría mencionar cómo se calcula el grupo fundamental(oid) de un grafo desde el punto de vista de los grupos. Entonces, ¿cómo obtenemos un grafo? Se toma una unión disjunta digamos $Q$ de aristas dirigidas. Estas tienen un conjunto $Q_0$ de los puntos finales. A continuación, un gráfico $\Gamma$ se obtiene identificando estos puntos finales de alguna manera, es decir, mediante una función $f: Q_0 \to V$ digamos. Ahora el grupo fundamental de $Q$ es la unión disjunta $G$ de copias del "groupoide del intervalo unitario" $\mathcal I$ , de nuevo con el conjunto de objetos $Q_0$ . En la teoría de los grupos podemos empezar con $G$ y $f$ y producir un nuevo grupito que en T&G se escribe $U_f(G)$ con el conjunto de objetos $E$ y una buena propiedad universal. En la página 343 de T&G, una deducción del Teorema de van Kampen de los grupos implica que $U_f(G)$ es el grupo fundamental de $\Gamma$ en el conjunto de vértices. Pero este también es el grupo libre en el grafo $\Gamma$ .

Esto puede no ser inmediatamente comprensible, pero muestra cómo un punto de vista de los groupoides evita la elección de puntos base y de un árbol maximal, y dice simplemente que el groupoide libre sobre un grafo se obtiene de forma análoga a como se obtiene el propio grafo por identificación de vértices, pero en la categoría de los groupoides en lugar de en la categoría de los grafos. Véase también el libro de Higgins Categorías y Groupoides publicado originalmente en 1971.

El énfasis en los grupos fundamentales sugiere que se describa un horario ferroviario en términos de viajes de ida y vuelta y cambio de punto de partida de los viajes de vuelta. ¡Hay una manera más conveniente!

27 de septiembre de 2015: A los lectores les puede gustar ver esto discusión de mathoverflow sobre el uso de más de un punto base.

Grothendieck escribe en su "Esquisse d'un Programme" de 1984 "...la gente todavía se obstina, cuando calcula con grupos fundamentales, en fijar un único punto base, en lugar de elegir inteligentemente todo un paquete de puntos que sea invariante bajo las simetrías de la situación, que así se pierden en el camino".