Lo que *es* afín al espacio?

Question

En mi reciente lectura de varios libros y notas sobre geometría algebraica y el esquema de la teoría, me han llegado a través de las tres definiciones de afín $n$-más de espacio que en un campo de $k$:

1. $\mathbb{A}_k^n$ $k^n$ 'sin un origen';

2. $\mathbb{A}_k^n$ es simplemente $k^n$ con la topología de Zariski (es decir, cero loci de los conjuntos de polinomios están cerrados);

3. $\mathbb{A}_k^n=\operatorname{Spec}k[x_1,\ldots,x_n]$.

Sé que las cosas como el Nullstellensatz nos dan una buena manera de ir desde un punto de vista a otro cuando se trata de polinomio anillos afines y de variedades, pero aquí estoy teniendo algo de confusión. Para $k=\mathbb{C}$ (que es algebraicamente cerrado, por lo que las cosas deberían actuar razonablemente bien) tenemos que los puntos de $\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ están en bijective correspondencia con los puntos de $\mathbb{C}$, aparte de la general, el punto de $[(0)]$. Así que me parece que estas definiciones no pueden ser los mismos, pero la búsqueda afín espacio en Google o en los libros, conduce a ninguna de las definiciones anteriores, dependiendo del nivel del texto.

Solo estoy haciendo un tonto error, o es que hay una diferencia en estas definiciones? Si es así, cuál es el "derecho"?

Answer 1

Así que me parece que estas definiciones no pueden ser los mismos, pero la búsqueda afín espacio en Google o en los libros, conduce a ninguna de las definiciones anteriores, dependiendo del nivel del texto.

A la derecha, no son todas de la misma. Ellos definen los objetos en tres diferentes categorías, que son, respectivamente,

1. La categoría de afín a los espacios de más de $k$. Esto requiere un poco de elaboración. Una manera de definir un espacio vectorial es un conjunto equipado con un $n$-ary operación por cada $n$-tupla $(r_1, r_2, \dots r_n)$ de los elementos de $k$, que corresponde a la combinación lineal de operación $(x_1, x_2, \dots x_n) \mapsto \sum r_i x_i$, junto con varios axiomas relacionados con estos. Un espacio afín es un poco restringido versión de este, donde sólo se permiten las operaciones donde el $\sum r_i = 1$ ("afín combinaciones lineales"). En particular, no se puede multiplicar por cero, de modo que usted no sabe donde está su origen. En esta categoría, endomorphisms $k^n \to k^n$ corresponden a los mapas de la forma $v \mapsto Av + w$ donde $A$ es una matriz y $w$ es un vector.

2. La categoría de lo que yo llamo "ingenuo afín variedades"$k$. Esta es la categoría cuyos objetos son Zariski-cerrado los subconjuntos de a $k^n$ algunos $n$ y cuyos morfismos son funciones polinómicas $k$. La gran diferencia entre esta opción y la opción #1 es que las funciones polinómicas de grado mayor que $1$ están permitidos. No quiero llamar a estas cosas variedades porque si $k$ no es algebraicamente cerrado esta es la categoría equivocada. En esta categoría, endomorphisms $k^n \to k^n$ corresponden a $n$-tuplas de polinomios de $n$ variables $k$.

3. La categoría de las variedades de más de $k$, lo que en sí tiene varias definiciones dependiendo de su nivel de sofisticación. La gran diferencia entre esta opción y la opción #2 es que, dada una variedad $X$ sobre un campo $k$ tiene sentido hablar acerca de los puntos de $X(L)$ de la variedad por encima de cualquier extensión de campo $L$ $k$ (y, de hecho, mucho más general que el de este, pero atengámonos a campo extensiones por simplicidad). Por ejemplo, si $k = \mathbb{R}$ $\{ x^2 + y^2 = -1 \}$ define el conjunto vacío en la opción #2 pero define una interesante variedad (con puntos interesantes sobre $\mathbb{C}$) en esta opción. En esta categoría, endomorphisms $k^n \to k^n$ el mismo aspecto que el anterior, pero buscando en el campo de extensiones puede obtener más interesante endomorfismo objeto que involucran polinomios sobre el campo de las extensiones de $k$.

La relación entre estas categorías es que hay functors de #1 a #3 al #2. La tendencia a dar a un objeto con el mismo nombre en diferentes categorías en las que aparece cuando están relacionadas por un functor es bastante común en las matemáticas (por ejemplo, pensar en cuántas categorías tienen un objeto llamado $\mathbb{R}$) y es bueno acostumbrarse a él más pronto que tarde.

Answer 2

Usted no es ser tonto y la razón de las diversas definiciones es en parte debido a ser simplemente una reciente tema, y en parte debido a la falta de cobertura de la geometría en un ambiente moderno.

Así que vamos a repasar todas las definiciones y ver lo que comparten y lo que no. El objetivo de nuestra definición al final del día se debe definir un "espacio" que se puede estudiar la geometría de tanto geométricos y algebraicos.

Debido a esto, no hay realmente una gran manera de definir un espacio geométrico. En realidad, podemos definir formalmente un conjunto de objetos y, a continuación, mostrar que podemos pensar en este como un espacio geométrico que nos son familiares. Nuestro modelo puede ser el avión, por ejemplo. Desde $\mathbb{R}$ tiene una relación lineal de los pedidos (o no? No recuerdo), podemos ver esto como una línea. Es un milagro de Descartes para introducir el ortogonal descripción de $\mathbb{R}^2$ y asignar a cada punto del plano de un elemento de $\mathbb{R}^2$, en una forma sistemática. Es decir, tomar $(a,b)$ y enviarlo a la coordenada estamos familiarizados con. Por supuesto, podríamos hacer lo mismo con $\mathbb{C}$, lo que fue demostrado por Gauss.

Ahora, esto está bien, excepto que no hay realmente manera de elegir qué punto lo que representa. Nuestras opciones eran completamente arbitraria sólo así podríamos trabajar con la geometría algebraica de configuración. Esto es explícitamente visto en álgebra lineal, donde podríamos, por ejemplo, reemplazar las líneas ortogonales de la $x,y$-eje con las líneas de $y=2x$ e las $x$-eje. Esto le da otra totalmente válida la representación del avión, donde hay un bijection entre los "puntos" y elementos de $\mathbb{R}^2$. Muy bien, así que probablemente debería evitar cualquier ambigüedad si tan sólo queremos definir lo que es un avión, es entonces en este algebro-configuración geométrica.

Ahora, aquí hay algo aún más confuso. Al principio éramos sólo mirar el plano. Pero, ¿qué acerca de la $3$-espacio? Hay toneladas de aviones en $3$-espacio. Entonces, ¿qué diferencia hace la geometría del avión $\mathbb{R}^2\times \{0\}$ tienen (en cualquier forma que usted decida para describirlo) con $\mathbb{R}^2\times \{1\}$? La geometría de estos dos planos es completamente el mismo. Uno de ellos es simplemente una traducción de la otra. Pero la primera se consideraría como un subespacio del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ y el segundo que no se considere si queríamos trabajar en un completamente algebraica de configuración. ¿Cómo podemos trabajar algebraicamente en el último? Incluso la forma en que se añadan puntos estaría mal (como el tercer componente claramente no permanecer en el $1$ si se añaden dos puntos de componentes-wise).

Muy bien, aquí es donde nos metemos en las definiciones. Definición 1: Afín $n$-espacio es$k^n$, sin origen. No, esto está mal. Afín $n$-espacio es nuestro geométricas idea de lo arbitrario $k^n$ debe ser similar. Dicen que estamos buscando en un avión antes de que le hemos asignado un sistema de coordenadas $\mathbb{R}^2$. Entonces no hay ninguna diferencia entre un plano y un plano situado encima de la otra. Estos son los dos afín a los aviones. Afín $n$-el espacio debe generalizar esta idea a la $n$-ajuste dimensional donde, si estábamos a la vista de un objeto geométrico y "miró" como $n$-espacio y podríamos asignar los puntos de $k^n$ en una correspondencia uno a uno, a continuación, vamos a llamarlo $\mathbb{A}_k^n$. De este modo, tanto el avión, y en cada plano en $3$-espacio representan la $\mathbb{A}_k^n$ antes de que nos han dado los nombres de sus puntos.

La gente dice topología y la geometría están relacionados. En realidad, un conjunto $A$ es el mismo conjunto, con o sin una topología en él. Definición 2 es donde la gente intenta asociar el algebraico afín a la naturaleza con el espacio, pero realmente no tiene sentido. Esto es sólo como "general" como la definición de arriba, pero no necesitamos imponer una topología en el espacio. Un típico razón por la que esta definición es usada en, digamos, Hartshorne del texto es que la gente lejos de la idea de que primero tenemos que asignar nombres a los puntos de un espacio geométrico antes de que podamos trabajar con ellos. ¿Por qué no trabajar con el conjunto de $n$-tuplas de elementos de $k$, y, a continuación, si queremos aplicar a un espacio geométrico podemos hacerlo siempre que queramos? Así que para evitar la familiaridad con $k^n$ le vamos a dar una nueva topología, la topología de Zariski, y entonces no creo que esto es como el antiguo objeto que se utiliza para hacer más confuso de lo que deben ser.

Por último, la definición 3. Podría decirse que la mayoría de la definición rigurosa, y en el objetivo de a dónde queremos ir, pero casi no es ni siquiera una definición. Este es el más algebraicas para describir la geometría del espacio, pero esto es sólo porque tenemos una correspondencia uno a uno entre la máxima ideales y puntos en $k^n$. Por lo general, hay incluso más puntos si $k$ no es algebraicamente cerrado, y estos corresponden a las variedades en la topología de Zariski. Aún así, esto tiene que ser demostrado y no es obvia. Es por eso que realmente no debería ser tomado como la definición de espacio afín.

Pero las razones por las que queremos trabajar con el espacio afín, en primer lugar, son filosóficas. Al introducir sistemas de coordenadas en un espacio geométrico perdemos parte de la geometría. Es por eso que la mayoría de los libros de texto no hablar de esto; es filosofía, no de matemáticas. Si quieres pensar afín $n$-espacio, usted puede elegir cualquiera de las definiciones anteriores. Si usted está planeando hacer álgebra conmutativa yo elegiría la última definición. Pero en realidad, asegúrese de separar el espacio geométrico y el sistema de coordenadas y darse cuenta de que las propiedades intrínsecas del espacio no se pierden cuando decidimos elegir una diferente forma de etiquetar las cosas.