$x^2=y^3+1$ tiene sólo 6 soluciones racionales.

Question

Este es un comentario de un ejercicio hecho por Dale Husemoller's Elliptic curve on Chpt 1, sect 3, Exercise 1.

$y^2=x^3+1$ . De (3.5) se deduce que todo esto es del grupo $E(Q)$ donde $E(Q)$ denota los puntos racionales de $E$ en $Q$ .

(3.5) Dejemos que $E$ sea una curva elíptica definida por $y^2=x^3+a$ con $a$ siendo la 6ª potencia libre. Entonces la torsión $\operatorname{Tor}(E(Q))=Z_6$ si $a=1$ .

$\textbf{Q:}$ ¿Cómo se deduce que $E(Q)$ no tiene más puntos racionales. En otras palabras, ¿por qué no tengo elementos de orden infinito? No sé si está suponiendo algún otro antecedente. El más probable sería $Q(\zeta_3)$ El cierre integral de la empresa es el PID, que se refiere a la información del número de clase.

Ref: D.Husemoller Curvas Elípticas Cap. 1, Sec. 3.

Answer 1

Dudo que de $ (3.5) $ se puede deducir que la curva elíptica $E:\space y^2=x^3+1$ no tiene más de seis puntos racionales y creo que hay una errata en medio. Necesitas, supongo, "otros antecedentes" como has escrito. Demuestra que tu curva tiene rango $0$ podría ser difícil sin la ayuda de otra propiedad lo suficientemente fuerte. ¿Estoy equivocado en este punto de vista?

Tenemos los siguientes seis puntos racionales: $$A=(2,3),B=(0,1),C=(-1,0),-A=(2,-3),-B=(0,-1)$$ y el punto en el infinito tomado como el cero del grupo como de costumbre.

Desde $\dfrac{3-1}{2-0}=\dfrac{0-1}{-1-0}$ , líneas $AB$ y $BC$ son los mismos por lo que $A+B+C=0$ por definición de la ley de grupos y, obviamente $-A-B-C=0$

Demostramos que $A$ es un generador del grupo de torsión $$\{A,B,C,-A,-B,O\}$$ utilizando las fórmulas de la suma $-(A+B)$ y $-2A$ (la figura adjunta muestra que $2A=B$ ).

Las fórmulas para $y^2=x^3+ax+b$ con $a=0$ y $b=1$ son $$►(x_a,y_a)+(x_b,y_b)=-(p^2-x_a-x_b,\space y_a+p(p^2-2x_a-x_b))$$ donde $p=\dfrac{y_a-y_b}{x_a-x_b}$ .

$$►2(x,y)=(x,y)+(x,y)=-(p^2-2x,-y+p(p^2-3x))$$ donde $p=\dfrac{3x^2}{2y}$ .

Entonces los cálculos fáciles dan $$\begin{cases}A=A\\2A=B\\3A=B+A=C\\4A=C+A=-B\\5A=3A+B=C+B=-A\\6A=2C=0\end{cases}$$ Además de $2B=4A=-B$ y $3B=-B+B=0$ y $2C=0$ es decir $A$ tiene orden $6$ , $\space B$ tiene orden $3$ y $C$ tiene orden $2$ y es así con $-A,-B$ y $-C$ .