Derivadas del producto punto

Question

Dejemos que $ A\in M_{n}$ . Definir $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ por $f(x) = \langle Ax,x\rangle$ . Encuentre $f'$ y $f''$ .

Parece que tengo que definir $g(x)=Ax$ Así que $g'(x)=A$

$$f(x+h)-f(x)=\langle A(x+h),x+h\rangle-\langle Ax,x\rangle\\ \langle Ax,h\rangle+\langle Ah,x\rangle+\langle Ah,h\rangle.$$

Los dos primeros sumados parecen $f'$ .

Pero todavía tengo problemas para conseguir $f''$ . ¿Por qué definir $g$ ? Cómo conseguir $f',f''$ ?

Answer 1

$$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\langle a(x),b(x)\rangle=\langle \frac{\mbox{d}a}{\mbox{d}x},b(x)\rangle+\langle a(x),\frac{\mbox{d}b}{\mbox{d}x}\rangle$$ Por lo tanto, $$\frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2}\langle a(x),b(x)\rangle=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\langle \frac{\mbox{d}a}{\mbox{d}x},b(x)\rangle+\langle a(x),\frac{\mbox{d}b}{\mbox{d}x}\rangle\right)=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\langle \frac{\mbox{d}a}{\mbox{d}x},b(x)\rangle +\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\langle a(x),\frac{\mbox{d}b}{\mbox{d}x}\rangle\\ =\langle \frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2}a,b(x)\rangle+\langle a,\frac{\mbox{d}^2b}{\mbox{d}x^2}\rangle+2\langle\frac{\mbox{d}a}{\mbox{d}x},\frac{\mbox{d}b}{\mbox{d}x}\rangle$$