Dejemos que $x_p$ sea la solución particular de $Ax = b$ y $x_h$ sea la solución de el sistema homogéneo $Ax = O$ . Todas las soluciones de $Ax = b$ son de la forma $x_p + x_h$
Prueba:
Dejemos que $x$ sea la solución de $Ax = b$ entonces $A(x x_p) = Ax Ax_p = b b = 0 \to x_h = x x_p \to x = x_p + x_h$
Necesitamos mostrar que todas las soluciones tienen este formato $x_p + x_h$ . Sea $x'$ sea una solución de $Ax = 0$ entonces $A(x + x') = Ax + Ax' = Ax + 0 = b + 0 = b$ . Por lo tanto, $x + x'$ es una solución de $Ax = b$ .
Entiendo los detalles técnicos de esta prueba, pero no estoy seguro de la intención de los argumentos.
Creo que la primera parte dice que si $x $ es el solución de $Ax = b$ entonces $x = x_p + x_h.$
La segunda parte dice que $x_p + x_h$ es a solución a cada sistema $Ax= b.$
¿Tiene sentido?