Solución general de la ecuación lineal = particular + solución general homogénea

Question

Dejemos que $x_p$ sea la solución particular de $Ax = b$ y $x_h$ sea la solución de el sistema homogéneo $Ax = O$ . Todas las soluciones de $Ax = b$ son de la forma $x_p + x_h$

Prueba:

Dejemos que $x$ sea la solución de $Ax = b$ entonces $A(x x_p) = Ax Ax_p = b b = 0 \to x_h = x x_p \to x = x_p + x_h$

Necesitamos mostrar que todas las soluciones tienen este formato $x_p + x_h$ . Sea $x'$ sea una solución de $Ax = 0$ entonces $A(x + x') = Ax + Ax' = Ax + 0 = b + 0 = b$ . Por lo tanto, $x + x'$ es una solución de $Ax = b$ .

Entiendo los detalles técnicos de esta prueba, pero no estoy seguro de la intención de los argumentos.

Creo que la primera parte dice que si $x $ es el solución de $Ax = b$ entonces $x = x_p + x_h.$

La segunda parte dice que $x_p + x_h$ es a solución a cada sistema $Ax= b.$

¿Tiene sentido?

Answer 1

Sí, presentado con más claridad
$$\overbrace{{\rm if}\ \ ax_p = b}^{{\rm particular\ solution\ }{\large x_p}}\!\! {\rm then}\ \ ax=b \!\iff\! a(x\!-\!x_p) = 0\!\iff\! \ \underbrace{x-x_p = x_h\ \ {\rm and} \overbrace{ a\, x_h = 0}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\rm homogeneous\ solution}\ \large x_h}}_{\large \bbox[5px,border:1px solid #c00]{\begin{align}x\ &=\ \text{general solution }\\ &=\ \rm particular + homogeneous\end{align}}}\qquad$$

Nota: $\ $ En general, esto es válido para cualquier operador $A$ es decir $\,\rm\color{#c00}{L}inear,\,$ es decir

$\quad $ si $\,\ \color{#0a0}{Ax_p = b}\,\ $ entonces $\,\ Ax=b \!\iff\! A(x\!-\!x_p) = 0\!\iff\! \ x= x_p + x_h\,$ y $\, Ax_h = 0$

porque $\ \ \ \smash[t]{ A(x-x_p)\overset{\rm\color{#c00}{\large L}} = Ax - \color{#0a0}{Ax_p} = Ax\! -\!\color{#0a0}b} $

por lo tanto $\ A(x-x_p)\, =\, 0 \ \ \iff\ \ Ax = b$

Así pues, esta relación entre soluciones generales, particulares y homogéneas también es válida para las ecuaciones lineales diferenciales y en diferencias (recurrencias), las ecuaciones lineales diofantinas (escalas de Bezout) y muchas otras ecuaciones lineales comunes. En algbra lineal estos espacios de soluciones de ecuaciones no homogéneas se abstraen en el estudio de espacios afines .