E es un subconjunto infinito de un conjunto compacto, ¿entonces E' también es un subconjunto?

Question

Aquí hay un teorema en Principios de Análisis Matemático de Rudin.

2.37 Teorema: Si E es un subconjunto infinito de un conjunto compacto K, entonces E tiene un punto límite en K.

Prueba: Si ningún punto de K fuera un punto límite de E entonces cada qK tendría una vecindad Vq que contiene a lo sumo un punto de E. Es evidente que ninguna subcolección finita de Vq puede cubrir E; y lo mismo ocurre con K, ya que EK. Esto contradice la compacidad de K.

He entendido la prueba, pero mi pregunta es la siguiente: ¿Es también cierto para la declaración Si E es un subconjunto infinito de un conjunto compacto K, entonces E' (el conjunto de puntos límite de E ) es subconjunto de K ?

Thm 2.37 sólo dice que existe un elemento de E' que está en K, así que hice una conjetura de que la afirmación es falsa, pero es difícil pensar en el contraejemplo. ¿Es cierto o no? y ¿por qué lo es?

Answer 1

Sí, $E' \subseteq K$ . Esto es así porque $K$ siendo compacto (en un espacio métrico) es un conjunto cerrado.

Y un conjunto $A$ es cerrado si $A' \subseteq A$ que Rudin también demuestra en el libro.

Así que en tu caso: $E' \subseteq K' \subseteq K$ donde la primera se deduce de $E \subseteq K$ y el segundo de $K$ que está cerrado.

Answer 2

Si el espacio es Hausdorff, los conjuntos compactos son cerrados y entonces la respuesta es sí. Simplemente porque significa que el cierre de $E$ es un subconjunto del conjunto compacto.

Sin embargo, una vez que te das cuenta de esto, es muy fácil encontrar un contraejemplo. Por ejemplo, tomemos cualquier espacio con más de un punto que tenga un único punto denso (por ejemplo, los reales con la topología de que un conjunto no vacío es abierto si y sólo si $0$ es un elemento del conjunto), entonces su singleton es compacto, pero tiene puntos límite fuera del conjunto.

Ahora se puede convertir este ejemplo en un espacio donde hay un conjunto infinito que es a la vez compacto y denso, pero no todo el espacio.