Grupos de orden $pqr$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $pqr$ (primos distintos) y $\varphi:G\to G$ con $\varphi(G)$ isomorfo a $\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$ .

¿Esto hace que $G$ ¿abeliana/ciclica? ¿Es el núcleo de $\varphi$ un subconjunto del centro de $\mathbb{Z}$ ?

Answer 1

De ello se desprende que $\ker(\varphi)$ es isomorfo a $\mathbb Z/r\mathbb Z$ y es automáticamente normal. El homomorfismo $\varphi: G \to \varphi(G) \simeq \mathbb Z/pq\mathbb Z$ selecciona un subgrupo complementario a $\ker(\varphi)$ es decir, tenemos $$\ker(\varphi) \varphi(G) = G$$ y $$\ker(\varphi) \cap \varphi(G) = \{1\}.$$

(Ejercicio: demostrarlo. Obsérvese que $\ker(\varphi) \varphi(G)$ es un subgrupo porque $\ker(\varphi)$ es normal).

Estos son los bloques de construcción de un producto semidirecto, por lo que tenemos

$$G \simeq \mathbb Z/r\mathbb Z \rtimes \mathbb Z/pq\mathbb Z.$$

Si no ha visto antes productos semidirectos, basta con decir que hay muchos ejemplos de esta situación en los que $G$ no es conmutativo, y $\ker\varphi$ no es central. Si has visto productos semidirectos, deberías ser capaz de construir algunos ejemplos.

Edición: Para un contraejemplo explícito que no requiere conocer los productos semidirectos, considere el grupo $G = \mathbb Z/5\mathbb Z \times S_3$ , donde $S_3$ es el grupo de simetría en $3$ cartas. Esto formará un contraejemplo con $p = 2, q = 5, r=3$ . Para ver esto en detalle, utilizamos el homomorfismo $sgn: S_3 \to \mathbb Z/2\mathbb Z$ dado por $sgn(1) = sgn( (123)) = sgn((132))=0$ y $sgn( (12)) = sgn((13))=sgn((23))=1$ . Esto nos da un homomorfismo $$id \times sgn: G \to \mathbb Z/5\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z,$$ $$(\overline x, \sigma) \mapsto (\overline x, sgn(\sigma)).$$ Para convertir esto en el homomorfismo deseado $\varphi: G \to G$ simplemente observa que $\mathbb Z/5\mathbb Z \times \mathbb Z/2\mathbb Z \simeq \mathbb Z/10\mathbb Z$ y $S_3$ contiene una copia de $\mathbb Z/2\mathbb Z$ (tres copias, en realidad - una generada por $(12)$ uno generado por $(13)$ y una generada por $(23)$ ).

Answer 2

Esto no es cierto. Consideremos el siguiente grupo de matrices sobre $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ : $$ G= \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\colon a,b\in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, a\neq 0 \end{Bmatrix}. $$ Puis $|G|=6.7=2.3.7$ . Definir $\varphi\colon G\rightarrow G$ por $$ \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$ Puis $\varphi$ es un homomorfismo, con $$ \ker\varphi= \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\colon b\in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \end{Bmatrix}\cong \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} $$ y $$Im(\varphi) = \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\colon a\in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, a\neq 0 \end{Bmatrix}\cong \mathbb{Z}/(2.3)\mathbb{Z}. $$ El elemento $ \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ está en el núcleo, pero no conmuta con $ \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , por lo tanto no central, y $G$ es no abeliana.