Supongamos la fórmula $$\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(n+u)^2}=\frac{\pi^2}{(\sin \pi u)^2},$$ donde $u\notin\Bbb Z$ . He estado tratando de demostrar que $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$$ Configuración $u=1/2$ pude derivar $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8},$$ pero no he hecho ningún progreso para probar el valor de $\zeta(2)$ . ¿Alguna sugerencia?
Respuestas
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Dividir la suma en partes Impares y pares:
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{(2n)^2}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{(2n+1)^2}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}=\frac 14\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{(2n+1)^2}$$
$$\frac 34 \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{(2n+1)^2}$$
y a partir de ahí es trivial.
George
Puntos
11
Una forma más directa de ver esto es hacer lo siguiente. Descomponga la suma como $$\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{1}{(n+u)^2}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+u)^2}=\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi u)}-\frac{1}{u^2}$$ y tomar $u\to 0$ . Esto es más fácil de hacer por Taylor ampliando $$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi u)}=\frac{1}{u^2}+\frac{\pi^2}{3}+\frac{\pi^4 u^2}{15}+\cdots$$ por lo que vemos que la singularidad se cancela exactamente y tenemos $$2\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{3}.$$
