Localización de Tor de un álgebra

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, sea $A$ ser un $R$ -álgebra, dejemos que $S\subset A$ sea un subconjunto multiplicativo, y sea $M$ ser un $R$ -módulo. ¿Es cierto que

$\mathrm{Tor}_p^R(S^{-1}A,M) \cong S^{-1}\mathrm{Tor}_p^R(A,M)$ ?

El primer problema es que ni siquiera veo que la parte derecha tenga sentido. Para ello, necesitaría $\mathrm{Tor}_p^R(A,M)$ para ser un $A$ -módulo, pero ¿cómo es eso? Para $p=0$ Esto es $A\otimes_R M$ y es, de hecho, un $A$ -pero si tomo una resolución proyectiva de $R$ -módulos $P_\bullet \to A$ El $P_i$ no necesita ser $A$ -módulos, por lo que esta línea de pensamiento no pasa...

Answer 1

Esto es cierto, para ver que efectivamente se trata de un isomorfismo y por qué el derecho $\operatorname{Tor}_p^R(A,M)$ es realmente un $A$ -se puede tomar una resolución proyectiva $P_\bullet\rightarrow M$ de $M$ . Entonces $\operatorname{Tor}_p^R(S^{-1}A,M)=H_p(S^{-1}A\otimes_R P_\bullet)$ . Pero tenemos los siguientes isomorfismos : $$ S^{-1}A\otimes_R P_\bullet\simeq S^{-1}A\otimes_A (A\otimes_R P_\bullet) $$ y $$ H_p(S^{-1}A\otimes_A (A\otimes_R P_\bullet))\simeq S^{-1}A\otimes_A H_p(A\otimes_R P_\bullet)=S^{-1}H_p(A\otimes_R P_\bullet)$$ (esto se debe a que el functor $S^{-1}A\otimes_A\cdot$ es exacta y conmuta con la homología).

Finalmente $S^{-1}H_p(A\otimes_R P_\bullet)=S^{-1}\operatorname{Tor}_p^R(A,M)$ .