proyección de cobertura

Question

Si f:E->B es una proyección de cobertura y B es completamente regular entonces, ¿cómo es que E también es completamente regular?

Answer 1

Se trata del ejercicio 6 de la página 341 de Topología de Munkres (segunda edición). En efecto, si $B$ es Hausdorff, regular, completamente regular, o localmente compacto Hausdorff entonces también lo es $E$ . Esta es la pista que da Munkres:

Si { $V_\alpha$ } es una partición de $p^{-1}(U)$ en rodajas y $C$ es un conjunto cerrado de $B$ s.t. $C\subset U$ entonces $p^{-1}(C)\cap V_\alpha$ es un conjunto cerrado de $E$ .

Sigamos la pista. Para demostrar $E$ es completamente regular cuando $B$ es completamente regular, basta con demostrar que para cualquier $e \in E$ y cualquier barrio $V$ existe una función continua $g : E \rightarrow [0,1]$ s.t. $g(e) = 1$ y $g(x)=0$ para todos $x\not \in V$ . Si esto se cumple, entonces ciertamente para cualquier conjunto cerrado $C$ que no contenga $e$ tendremos una función que tome $C$ a cero y $e$ a $1$ , simplemente estableciendo $V = E-C$ arriba.

Para construir $g$ , dejemos que $b = p(e)$ y $U = p(V)$ . Podemos suponer $U$ está cubierto de manera uniforme y $V$ es un trozo por encima de $U$ porque si $U$ no es entonces simplemente tomar un sub-barrio de $b$ que está cubierto uniformemente. Porque $B$ es completamente regular, existe un mapa $f: B \rightarrow [0,1]$ s.t. $f(b) = 1$ y $f(x)=0$ para todos $x\not \in U$ . Sea $W$ sea la unión de las rebanadas distintas de $V$ .

Definir $g$ para igualar $f \circ p$ en $V$ y ser $0$ en $E−V$ . Entonces $g$ es igual a $f \circ p$ en $E−W$ porque $f \circ p$ es $0$ en el exterior $p^{−1}(U)$ . Por lo tanto, $g$ es continua en los conjuntos cerrados $E−V$ y $E−W$ y, por lo tanto, en todos los $E$ .