Si $\alpha \wedge \omega = 0$ entonces $\alpha = f \omega$ para algunos $f$

Question

Pregunta:

Dejemos que $\alpha$ , $\omega$ sea $1$ -formas de clase $C^1$ en $\mathbb R^3$ . Si $w(x) \neq 0$ para cada $x \in \mathbb R^3$ y $\alpha \wedge \omega = 0$ . Entonces $\alpha = f\omega$ , donde $f : \mathbb R^3 \to \mathbb R$ es una función de la clase $C^1$ .

Intento: Ante la falta de ideas innovadoras, tuve que recurrir al enfoque mecánico, aunque todavía no es satisfactorio.

Escribe $\omega = a dx + b dy + c dy $ y $\alpha = r dx + s dy + t dz $ entonces

$$0 = \omega \wedge \alpha = (as - rb)\, dx \wedge dy + (at - rc)\,dx \wedge dz + (bt - sc)\,dy \wedge dz$$

Por lo tanto, por la independencia lineal se deduce que $as = rb$ , $at = rc$ , $bt = sc$ y de $r = asb^{-1}$ , $t = sb^{-1}c$ , $s = sb^{-1}b$ obtenemos $$\begin{align}\alpha &= sb^{-1} a dx + sb^{-1} b dy + sb^{-1}c dz\\&=sb^{-1} (a dx + b dy + c dz)\\&= f \omega\end{align} $$

donde $f: \mathbb R^3 \to \mathbb R$ viene dado por $f (x) = s \circ b^{-1 }(x)$ .

Problemas con este enfoque:

1) Nada garantiza que dicha $b^{-1}$ existe desde $b : \mathbb R^3 \to \mathbb R$ , ni $a^{-1}$ , $c^{-1}$ para el caso.

Answer 1

Puntualmente, en cada punto $x\in\mathbb R^3$ , $\alpha^{1}\wedge \alpha^{2}\wedge\cdots\wedge \alpha^{k}=0$ si y sólo si $\{\alpha^i\}$ son linealmente dependientes.

Una prueba de la dirección no trivial: si fueran independientes, se podrían elegir como formas de base y evaluando su producto exterior en los correspondientes elementos de base duales tendríamos $\alpha^1\wedge\ldots\wedge \alpha^k(v_1,...,v_k)=1.$

En su caso $\alpha=f(x)\omega$ y porque se requiere que ambas formas 1 sean de $C^1$ así será $f(x)$ .