Delta de Kronecker como producto de derivadas parciales

Question

Así que, actualmente estoy aprendiendo los fundamentos de los tensores, y una de las definiciones que continuamente me encuentro para los tensores Contravariantes y Covariantes es que se transforman según $\bar A^i = \frac{\partial \bar x^i}{\partial x^j} A^j$ y $\bar A^i = \frac{\partial x^j}{\partial \bar x^i} A^j$ respectivamente, donde las barras indican el nuevo sistema de coordenadas. En concreto, uno de los textos que estoy utilizando es el de A.J. McConnell Aplicaciones del análisis tensorial , en el que describe que un tensor arbitrario, $a_{np}^m$ tiene la transformación $\bar a_{st}^r = c_m^r \gamma_s^n \gamma_t^p a_{np}^m$ donde sólo ha definido $c$ como una transformación lineal, y $\gamma$ como cofactor de $c$ dividido por el determinante, $|c|$ . Luego dice que al contraerse el $r$ y $t$ que $c_m^r \gamma_r^p = \delta_m^p$ .

En primer lugar, asumo que $c_m^r$ y $\gamma_r^p$ puede, al menos en algunos casos (corríjanme si me equivoco), considerarse como $c_m^r = \frac{\partial \bar x^r}{\partial x^m}$ y $\gamma_r^p = \frac{\partial x^p}{\partial \bar x^r}$ , basándose en las definiciones que he mencionado anteriormente.

Mi pregunta, dado que mi suposición es correcta, es por qué $\frac{\partial \bar x^r}{\partial x^m} \frac{\partial x^p}{\partial \bar x^r} = \delta_m^p$ ? O, al menos, ¿por qué el caso $m \neq p$ llevar a $\frac{\partial \bar x^r}{\partial x^m} \frac{\partial x^p}{\partial \bar x^r} = 0$ . El otro caso tiene sentido para mí.

Además, ¿en qué circunstancias se aplica? ¿Para todas las transformaciones de coordenadas? ¿O sólo a un subconjunto (es decir, ortonormal, ortogonal, no curvilínea)? Al menos, las transformaciones de coordenadas no lineales no tendrían necesariamente esta condición, ¿no?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

La expresión que te interesa obedece a la regla de la cadena.

$$\sum_{r}\frac{\partial \bar{x}^r }{\partial x^m } \frac{\partial x^p }{\partial \bar{x}^r } = \frac{\partial x^p }{\partial x^m}$$

Ahora considere $\frac{\partial x^p}{\partial x^m}$ . Esta expresión será igual a $1$ si $p=m$ porque $x^p$ y $x^m$ se referiría a la misma variable (la derivada parcial de una variable respecto a sí misma es $1$ ). Entonces, si $p\neq m$ la expresión será igual a cero porque $x^p$ y $x^m$ se referirían a variables diferentes (la derivada parcial de una variable con respecto a otra variable es $0$ ).

Estas observaciones significan que $\frac{\partial x^p}{\partial x^m} = \delta^p_m$ .

Concluimos que,

$$\boxed{\sum_{r}\frac{\partial \bar{x}^r }{\partial x^m } \frac{\partial x^p }{\partial \bar{x}^r } = \delta^p_m }$$

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$c$ y $\gamma$ son iguales a las expresiones de derivadas parciales que has identificado. No es que por definición $\gamma$ es la inversa de $c$ (la matriz del cofactor dividida por el determinante es la matriz inversa).

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Estas reglas se aplicarían a todas las transformaciones de coordenadas suaves de una variedad sobre sí misma. Si la transformación de coordenadas es muy poco suave, hasta el punto de no tener una derivada bien definida, entonces seguro que tendrás problemas.