Clasificar el punto fijo en el origen

Question

Clasificar el punto fijo en el origen para el siguiente sistema para todos los valores reales del parámetro $a$ .

$\dot{x}=-y+ax^3$

$\dot{y}=x+ay^3$

El jacobiano de este sistema predice incorrectamente que el origen es un centro; en realidad es una espiral si se traza el plano de fase para $a\ne0$ . Es de suponer que utilizamos las coordenadas polares para clasificar el punto fijo, pero ¿cómo?

Answer 1

Pistas: Deja que

• $x = r \cos \theta$
• $y = r \sin \theta$
• $x^2 + y^2 = r^2 \rightarrow x x' + y y' = r r'$

Sustituir y resolver para $r'$ y $\theta'$

Answer 2

Multiplica la primera ecuación por $x$ el segundo por $y$ y sumar las dos ecuaciones resultantes.