Dejemos que $X_n,Y_n$ tienen una distribución idéntica para cada $n$ . Supongamos que $X_n\to c$ a.s. ¿Es cierto que $Y_n\to c$ ¿también? Sólo puedo mostrar que $Y_n\to c$ en la base de distribución de lo que tengo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si te refieres a la convergencia a.s., entonces la respuesta es NO.
Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F}, \mathsf{P}) = ([0, 1), \mathcal{B}([0,1)), \operatorname{Leb})$ donde $\operatorname{Leb}$ es la medida de Lebesgue restringida a $[0, 1)$ . Entonces, para cada $m \geq 0$ y $0 \leq k < 2^n$ Considera que
$$ Z_{m,k} = \mathbf{1}_{ \left[\frac{k}{2^m},\frac{k+1}{2^m} \right) }. $$
Ahora enumera el conjunto $\{ (m, k) : m \geq 0 \text{ and } 0 \leq k < 2^m\}$ como una secuencia $\{ (m_i, k_i) \}_{i=1}^{\infty}$ de manera que esta aumenta en orden lexicográfico. Entonces, defina
$$ X_i = Z_{m_i, 0} \qquad \text{and} \qquad Y_i = Z_{m_i, k_i}. $$
Observe que $X_i \stackrel{d}{=} Y_i$ para todos $i$ y $X_i \to \mathbb{1}_{\{0\}}$ puntualmente en todas partes, por lo que $X_i \to 0$ casi seguro. Pero es fácil comprobar que $Y_i$ no converge puntualmente en todas partes.
