Wikipedia dice que encontramos una formulación débil de la ecuación $$ Au = f $$ definiendo una forma bilineal $a(u,v)$ . Y en los ejemplos, el operador $A$ es siempre lineal, sin embargo no lo especifica en los requisitos de la definición. ¿Es posible, encontrar una forma bilineal, también cuando $A$ no es lineal?
Respuestas
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Cuando $A$ no es lineal, hay una forma, pero no es una forma bilineal. Por ejemplo, considere el $p$ -Laplaciano .
La página de Wikipedia a la que enlazas sólo considera las ecuaciones lineales, y sus formulaciones débiles conducen a formas cuadráticas. Si empiezas con algo no lineal, puedes tener una solución débil, y puedes esperar que sea algo no cuadrático.
Andy
Puntos
21
Hay muchos tipos de formulaciones débiles de las EDP. Para un problema lineal, en efecto, refundimos $Au=f$ como $a(u,v)=b(f,v)+c(u,v)$ , donde $a$ y $b$ son formas bilineales y $c$ es un término límite. Las EDP no lineales también tienen formulaciones débiles, pero no hay razón para esperar que impliquen esta estructura bilineal. Lee a Evans.
