Convolución de una función y una medida.

Question

Consideremos un grupo localmente compacto $\mathrm{G}$ y una medida de Haar invariante a la izquierda $\lambda$ en él. Deje que $\mu$ sea una medida de probabilidad. Supongamos que $f$ es una función continua y acotada. Denotemos por $\Delta$ el módulo del grupo $\mathrm{G}.$ Quiero demostrar que la función $$(f \ast \mu)(x) = \int\limits_\mathrm{G} f(xs^{-1}) \Delta(s^{-1})\ d\mu(s)$$ es (1) definido en todas partes , (2) continuo y (3) limitado.

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EDITAR: Estoy viendo la integral sobre un espacio localmente compacto, la forma habitual en que se maneja esto es mediante la integral de Daniell. Entonces, supongo que las medidas aquí se llaman medidas de Radon. En particular, son regulares (tanto internas como externas) y finitas en todo conjunto compacto. Además, si $\mathscr{A}_\mu$ denota el $\mu$ -conjuntos integrables, entonces $\mathscr{A}_\mu$ contiene la topología de $\mathrm{X}$ (comentario $\mu$ es una medida de probabilidad, por lo que no hay problemas de medida infinita aquí).

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En el texto principal se da la prueba de la misma afirmación para la convolución $\mu \ast f$ que viene dado por $$(\mu \ast f)(x) = \int\limits_\mathrm{G} f(s^{-1} x)\ d\mu(s).$$

He intentado imitar la prueba, pero surgen problemas. La forma más fácil de ilustrar esto es cuando muestran la acotación. Para el caso $\mu \ast f$ el autor utiliza una conocida desigualdad y acotación de $f$ $$|(\mu \ast f)(x)| \leq \int\limits_\mathrm{G} |f(s^{-1} x)|\ d\mu(s) \leq \|f\|,$$ desde $\mu$ es una medida de probabilidad. Obviamente, la misma prueba no puede proceder para la convolución $f \ast \mu$ ya que se obtendría $$|(\mu \ast f)(x)| \leq \|f\| \int\limits_\mathrm{G} \Delta(s^{-1})\ d\mu(s)$$ y no creo que la función módulo sea integrable.

Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario:

Se necesitan más suposiciones sobre $f$ o en la medida $\mu$ .

Por ejemplo, para la función $f$ tomar la función constante $f \equiv 1$ . Por supuesto, esto es continuo y acotado. Para esta elección de $f$ su pregunta equivale a demostrar que la función $s \mapsto \Delta(s^{-1})$ es integrable con respecto a cualquier medida de probabilidad (adecuada).

El mapa $s \mapsto \Delta(s^{-1})$ es un morfismo de grupo al grupo multiplicativo de los reales positivos. Por tanto, o bien es constante (en este caso la cuestión es trivial) o bien es ilimitada. Pero para cualquier función no limitada $h$ siempre se puede encontrar una medida de probabilidad en $G$ tal que $h$ no es integrable con respecto a esta medida. La idea es tomar una secuencia $x_n \in G$ tal que $|h(x_n)| > 2^n$ y definir la medida $\mu = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \delta_{x_n}$ , donde $\delta_x$ denota la medida de Dirac en $x$ (véase por ejemplo aquí para más detalles). Por lo tanto, para tal medida de probabilidad la función $f * \mu$ tal y como lo has definido es idénticamente infinito.

Tal vez querías $f$ para ser apoyado de forma compacta? O integrable con respecto a $\lambda$ ?