Quería añadir algunas cosas a los comentarios que ya había hecho pero la lista de comentarios se ha hecho muy grande y los comentarios que ya he hecho son cada vez más difíciles de seguir, así que voy a poner todo (incluyendo las cosas que ya he dicho) aquí en su lugar aunque no sea una respuesta a la pregunta.
Consideremos primero el caso de una superficie mínima $X$ (por mínimo me refiero a $K_X$ nef). Dolgachev (Dolgachev: Grupos de reflexión en geometría algebraica) es una buena referencia, aunque la prueba sólo se menciona allí y no se da) dio una especie de teorema de estructura para la imagen $A_X$ de $\mathrm{Aut}(X)$ en $\mathrm{Aut}(S_X)$ , donde $S_X$ es el complemento ortogonal de $K_X$ en $\mathrm{NS}(X)$ módulo de torsión. Su resultado dice que hay un subgrupo normal $W_X$ de $\mathrm{Aut}(S_X)$ generado por las reflexiones en $-2$ -y el grupo $P_X$ generado por $A_X$ y $W_X$ es un producto semidirecto y de finito índice en $\mathrm{Aut}(S_X)$ . Tenga en cuenta que es posible tener $W_X=\{e\}$ y entonces $A_X$ es de índice finito y, por lo tanto, una aritmética ( y por lo tanto finitamente presentado). También es posible tener $W_X$ de índice finito y luego $A_X$ es finito ( y por tanto, de presentación finita). Sin embargo, hay casos intermedios en los que ambos $A_X$ y $W_X$ son infinitas. Todavía $A_X$ es un cociente de $P_X$ y, por tanto, está generada finitamente. No sé si siempre está finitamente presentado. Borcherds (grupos de Coxeter, celosías lorentzianas y $K3$ superficies. Internat. Math. Res. Notices 1998) da ejemplos donde es (y donde es aún más bonito) pero también ejemplos donde es finitamente generado pero no aritmética.
[[Añadido]]
Ahora me doy cuenta de que la presentación finita es siempre cierta: Para ello sólo tenemos que sólo tenemos que demostrar que $W_X$ se genera normalmente en $\mathrm{Aut}(X)$ por un número finito de elementos y para ello basta con demostrar lo mismo para $\mathrm{Aut}(S_X)$ . Sabemos que $W_X$ se genera por las reflexiones en $-2$ -elementos. Sin embargo, sólo hay un número finito de clases de conjugación $-2$ -elementos. Para para ello basta con demostrar, mediante argumentos teóricos estándar, que sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de elementos ortogonales. sólo hay un número finito de clases de isomorfismo de complementos ortogonales. Sin embargo, el discriminante de dicho complemento está acotado en términos del rango y del discriminante de $S_X$ y sólo hay un número finito de formas de rango y discriminante acotados.
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Un paso más sería volar los puntos de $X$ (todavía se supone que es mínimo). Como $X$ es el único modelo mínimo cualquier automorfismo de la explosión está dado por un automorfismo de $X$ que permuta los puntos volados (y el subgrupo que fija los puntos es conmensurable con el grupo de automorfismo completo). En el caso de las superficies abelianas o hiperelípticas, la ampliación de un solo punto es punto es inútil, ya que sólo sirve para eliminar la componente conectada de $\mathrm{Aut}(X)$ por lo que en ese caso el primer caso interesante es la explosión de dos puntos.
Consideremos el caso de la explosión de dos puntos cuando $X$ es abeliano. Así que tenemos dos puntos en $X$ uno de los cuales podemos suponer que es $0$ y el otro lo llamaremos $x$ . Un automorfismo de $X$ que fija ambos puntos será un automorfismo de $X$ como variedad abeliana que fija puntualmente el subgrupo cerrado $A$ generado por $x$ . La fijación del grupo $x$ tendrá entonces un índice finito en el grupo que fija $A$ en un punto. Para cualquier subvariedad abeliana $A$ de $X$ el subgrupo de $\mathrm{Aut}(X)$ fijando todos los puntos de $A$ es un subgrupo aritmético (en un grupo no necesariamente semisimple) y, en particular, es de presentación finita.
El mismo argumento funciona para variedades abelianas de cualquier dimensión. En este caso, por supuesto por supuesto también tiene la opción de volar variedades de dimensión positiva, suponga $S$ es una subvariedad suave y cerrada. Este vez el grupo de automorfismo es el subgrupo de automorfismos $X$ que arregla $S$ . Obtenemos así una acción inducida sobre $S$ y el núcleo de esa acción tiene el misma estructura que antes. Si no me equivoco, los automorfismos de $S$ que se extienden hasta $X$ son de índice finito en $\mathrm{Aut}(S)$ (mira $\mathrm{Alb}(S) \rightarrow X$ y dividirla hasta la isogenia). Por lo tanto, la generación finita etc. para el estallido se reduce a la generación finita para $S$ (y a la inversa para $X$ sustituido por $\mathrm{Alb}(S)$ ).
Consideremos ahora el caso de $X$ todavía mínima pero no abeliana o hiperelíptica y mira la explosión de un punto $x$ . Para un punto general de $X$ (en el sentido de que está fuera de un número contable de subvariedades propias) el grupo de automorfismo es trivial y, por tanto, de generación finita. La situación para un $x$ parece pero un hilo de la discusión comenzó a preocuparse por si para un general $X$ existe una caracterización (hasta la conmensurabilidad) de $\mathrm{Aut}(X)$ similar al caso mínimo: Mira todos los automorfismos de la cohomología integral de $X$ que preserva la estructura multiplicativa, Hodge de Hodge, las clases de Chern (del haz tangente) y los conos efectivos (abarcados por ciclos efectivos). Es la imagen del grupo de automorfismo de $X$ de índice finito en este grupo? Creo que la respuesta es no (y espero que lo que presento aquí sea una prueba). Para ello tenemos que recordar algunos datos sobre las constantes de Seshadri (Lazarsfeld: Positivity in Algebraic Geometry, I es mi referencia). Dado un punto $x$ las constantes de Seshadri $\epsilon(L;x)$ para $L$ nef (pero también para $L$ restringidos a ser amplios) determinan (y son determinados por) el cono nef del que estalla en $x$ ; $L-rE$ es nef precisamente cuando $0\leq r\leq \epsilon(L;x)$ . Cambiando de táctica, hay un subconjunto $U$ de $X$ que es la intersección de a número contable de subconjuntos abiertos no vacíos de $X$ tal que $\epsilon(L;x)$ es constante en $U$ para todos los amplios $L$ . De hecho, $\epsilon(L;x)$ puede expresarse (loc. cit.: 5.1.17) en términos de si $kL$ separa $s$ -jets en $x$ y para los fijos $k$ y $s$ la separación es verdadera en un subconjunto abierto.
La conclusión es que hay una $U$ que es la intersección de un número contable número de subconjuntos abiertos no vacíos para los que el cono nef de la explosión de $X$ en $x$ es independiente de $x$ cuando se expresa en la descomposición $\mathrm{NS}(X)\bigoplus\mathrm Z E$ . Si asumimos ahora que $K_X$ es numéricamente trivial tenemos que la primera clase de Chern del haz tangente de la explosión de $X$ en algunos $x$ es igual a $E$ (hasta la torsión) y, por tanto, el grupo anterior preservará la descomposición $\mathrm{NS}(X)\bigoplus\mathrm Z E$ y arreglar $E$ así que provienen de un automorfismo de $\mathrm{NS}(X)$ . La única condición adicional que ponemos es que conserve el cono de nef pero para $x\in U$ este cono es independiente de $x$ . Como podemos además arreglarlo de manera que $x\in U \implies \varphi(x)\in U$ (como $\mathrm{Aut}(X)$ es contable) obtenemos que todos los elementos de $\mathrm{Aut}(X)$ dan automorfismos preservadores de la estructura de la cohomología de la ampliación de $X$ en $x$ . Sin embargo, como se ha observado antes, al precio de reducir $U$ podemos suponer que el grupo de automorfismo de la explosión es trivial. Por lo tanto, si dejamos que $X$ sea, por ejemplo, una superficie K3 con infinito grupo de automorfismo infinito obtenemos un ejemplo.
