¿Cómo puedo encontrar la segunda constante para resolver esta EDP?

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente EDP de primer orden:

$$3u_x+y^2u_y=\frac{x}{y}u$$

Aplicando el método de las características tenemos lo siguiente:

$$\frac{dx}{3}=\frac{dy}{y^2}=\frac{ydu}{xu}$$

Se puede ver fácilmente que combinando la primera igualdad podemos obtener nuestra primera constante : $$\frac{dx}{3}=\frac{dy}{y^2}\\=>\frac{x}{3}=-\frac{1}{y}+c_1\\=>\frac{x}{3}+\frac{1}{y}=c_1$$

Aquí es donde estoy atascado. No se me ocurre una combinación adecuada que me permita integrar y encontrar la segunda constante que busco. ¿Alguna idea?

Edición: Por si sirve de ayuda, el manual de soluciones dice que la segunda constante es : $$c_2=\ln{u}-\frac{x^2}{6y}-\frac{x^3}{54}$$

Answer 1

Utilizar la última ecuación y la primera $$\frac x 3 dx= \frac yu du$$

Utilizar la primera constante de integración $$\frac x3 +\frac 1y=K$$ $$\implies y=-\frac 1{(x/3-K)}$$ $$\frac x 3 dx=\frac {du}{u(K-x/3)}$$ $$\frac x 3(K-\frac x 3) dx=\frac {du}{u}$$ Después de la integración $$K\frac {x^2}6-\frac {x^3}{27}+C_2=\ln |u|$$ Sustituir $K=\frac x3+\frac 1y$ Obtienes la respuesta final que has publicado $$\frac {x^3}{54}+\frac {x^2}{6y}+C_2=\ln |u|$$