$\int_{[0,1]} \int_{[0,1]} \frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy$ y $\int_{[0,1]} \int_{[0,1]} \frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx$

Question

Tengo problemas para calcular $$I_1=\int_{[0,1]} \int_{[0,1]} \frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \,dx\,dy$$ y $$I_2=\int_{[0,1]} \int_{[0,1]} \frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \,dy\,dx$$ después de sustituir $x=r\cos \theta$ y $y=r\sin \theta$ tenemos $I_1=\int_{[-\pi,\pi]} \int_{[0,1]}\frac{\cos(2\theta)}{r^2}r\,dr\, d\theta$ por lo que estoy recibiendo $\infty \times 0=0$ Así que no estoy recibiendo $\pi/4$ y $-\pi/4$ resp.

Tal vez hay un punto tonto que se me escapa. Por favor, ayuda.

Answer 1

Una pista:

$$\frac {x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y}{x^2 + y^2}\right) = -\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{x^2 + y^2}\right) $$