¿Tiene A5 un subgrupo de orden 6?

Question

Estoy tratando de averiguar si $A_5$ tiene un subgrupo de orden $6$ . En lugar de una respuesta de sí/no, preferiría que alguien me mostrara cómo encuentran la respuesta. A continuación, mi falso intento de solución. Lo ideal sería que me dieran algunos consejos sobre cómo arreglar mi intento, pero si parece un callejón sin salida las soluciones alternativas son realmente apreciadas:).

Empecé contando el número de elementos de cada tipo de ciclo en S5 para poder deducir las clases de conjugación y la ecuación de clase para S5. Luego revisé los centralizadores para determinar cuáles eran las clases de conjugación en A5 y obtuve la ecuación de clase para $A_5$ como $60 = 1 + 12 + 12 + 15 + 20$ .

Usando el teorema del estabilizador de órbita, podemos deducir del orden de la última clase de conjugación que hay un subgrupo de orden $3$ a saber, el centralizador de cualquier elemento de esta clase de conjugación, por ejemplo $C((12345))={e, (12345), (15432)}$ . Es fácil entonces encontrar un subgrupo de orden $2$ como $<(12)(34)>= {e, (12)(34)}$ . Ya que la intersección de estos dos grupos es ${e}$ mi esperanza era que $<(12)(34)>(12345)$ sería un subgrupo de orden $6$ desafortunadamente no todos los elementos viajan (Si los elementos de dos subgrupos $H$ , $K$ y su intersección es ${e}$ entonces $HK$ es un subgrupo con un orden igual al producto de los pedidos) así que estoy en un callejón sin salida.

Answer 1

Si $\pi\in S_5$ es una permutación de $\{1,2,3\}$ Entonces, o bien $\pi$ o $\pi\circ (4\,5)$ es una permutación par, es decir, $\in A_5$ . Esto nos permite incrustar $S_3\to A_5$ .

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O diviértete con la geometría: $A_5$ es el grupo de simetría del dodecaedro. Es posible seleccionar $4$ de su $20$ vértices que componen un tetraedro regular $T_1$ . Una rotación del dodecaedro por $72^\circ$ gira $T_1$ en otro tetraedro de este tipo $T_2$ . Entonces el subgrupo de $A_5$ que arregla $T_1\cup T_2$ resulta ser de isomorfo a $S_3$ (¿por qué?)

Answer 2

Aunque has dicho que no querías una respuesta de sí/no, mi sugerencia es que la respuesta es sí, así que deberías intentar construir un subgrupo, $H$ de orden 6. Busque los elementos $\sigma$ y $\rho$ de orden 2 o 3. A priori hay dos posibilidades para $H$ - a saber $\mathbb Z_6=\langle\rho, \sigma | \sigma \rho \sigma ^{-1}=\rho, \quad \rho^3=e=\sigma^2\rangle$ y $D_6=\langle\rho, \sigma | \sigma \rho \sigma ^{-1}=\rho^{-1}, \quad \rho^3=e=\sigma^2\rangle. $ $\mathbb Z_6$ tiene un elemento de orden 6, pero no existe tal elemento en $A_5$ - necesitarías un producto de 2 ciclos y un 3 ciclos, pero como sólo puedes permutar 5 objetos, sólo puedes obtener elementos como $(12)(345)$ que son impar, así que no en $A_5$ . Así que la única posibilidad es $D_6$ , pero si eliges tus elementos $\sigma$ y $\rho$ bueno, tendrás esto.